Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#161

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 11, 2020 9:11 pm

Άσκηση 56


Στο ίδιο πνεύμα με τα προηγούμενα...


Έστω 0<\alpha<\beta. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#162

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:33 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:05 pm
Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου.
Τόλη, ούτε εγώ το έχω δει αλλά δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό, στην μία ή την άλλη μορφή.
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:11 pm
Άσκηση 56
Έστω 0<\alpha<\beta. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, \mathrm{d}x}
Με x=\dfrac {ab}{t} είναι

\displaystyle{I= \int_{a}^{b} \frac{\ln (ab) - \ln t}{\left ( \frac {ab}{t}+a \right )\left ( \frac {ab}{t}+b \right )} \cdot \frac {ab}{t^2}\, dt}=   \int_{a}^{b} \frac{\ln (ab) - \ln t}{ ( a+t )( b+t )} \, dt= \ln (ab)\int_{a}^{b} \frac{1}{ ( a+t )( b+t )} \, dt -I}

Άρα

\displaystyle{  2I= \ln (ab)\int_{a}^{b} \dfrac{1}{ ( a+x )( b+x )} \, dx =  ... = \dfrac {\ln (ab)}{b-a} \left [\ln \left (   \dfrac{a+x}{   b+x } \right) \right ] _a^b= \dfrac {\ln (ab)}{b-a}\ln \left (   \dfrac{ (a+b)^2}{   4ab } \right) }

και λοιπά, ελπίζοντας ότι δεν μου ξέφυγε κάποιο δευτερεύον τυπογραφικό.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#163

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:33 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:05 pm
Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου.
Τόλη, ούτε εγώ το έχω δει αλλά δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό, στην μία ή την άλλη μορφή.

Το ότι ειναι γνωστό ειναι , αλλά γενικά αυτή η αντικατάσταση δε σου έρχεται στο μυαλό αν δεν την έχεις δει !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#164

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 11:10 pm

Άσκηση 57

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac {\pi}{2} } \frac{\sin ^5 x}{\sin x + \cos x }dx }}

(Δεν χρειάζεται να κάνετε μέχρι τέλους τις πράξεις στο τελευταίο βήμα γιατί είναι επίπονες. Πάντως η τελική αριθμητική απάντηση είναι \displaystyle{\dfrac {7\pi}{32} - \dfrac {1}{4}} ).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#165

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 12, 2020 11:56 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:10 pm
Άσκηση 57

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac {\pi}{2} } \frac{\sin ^5 x}{\sin x + \cos x }dx }}

(Δεν χρειάζεται να κάνετε μέχρι τέλους τις πράξεις στο τελευταίο βήμα γιατί είναι επίπονες. Πάντως η τελική αριθμητική απάντηση είναι \displaystyle{\dfrac {7\pi}{32} - \dfrac {1}{4}} ).

Τη θεωρώ αρκετά δύσκολη για Γ' Λυκείου. Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^5 x}{\sin x +\cos x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^5 x}{\sin x+ \cos x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^5 x+\cos^5 x}{\sin x +\cos x} \, \mathrm{d}x\\ 
 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \bigg ( \sin^4 x + \cos^4 x - \sin x \cos^3 x + \\ 
 & \quad \quad \quad +\sin^2 x \cos^2 x - \sin^3x \cos x \bigg ) \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \left ( \sin^4 x+ \cos^4 x \right ) \, \mathrm{d}x  + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x -   \\ 
 & \quad \quad \quad - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x \, \mathrm{d}x  - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, \mathrm{d}x\\ 
 &= \frac{1}{8} {\color{red}{\int_{0}^{\pi/2} \left ( \cos 4x +3 \right ) \, \mathrm{d}x}} + \frac{1}{2} {\color{cyan}{\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x}} -   \\ 
 & \quad \quad \quad - \frac{1}{2}{\color{purple}{\int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x \, \mathrm{d}x}}  - \frac{1}{2} {\color{purple}{\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, \mathrm{d}x}} 
\end{aligned}}
Πάμε για το κόκκινο ολοκλήρωμα το οποίο είναι εύκολο:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi/2}\left ( \cos 4x+ 3 \right )\, \mathrm{d}x &= \cancelto{0}{\int_{0}^{\pi/2} \cos 4x \, \mathrm{d}x}+ \frac{3\pi}{2} \\  
 &=\frac{3\pi}{2} 
\end{aligned}}

Για το cyan ολοκλήρωμα έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\pi/2} \left ( \sin x \cos x \right )^2 \, \mathrm{d} x\\  
 &=\int_{0}^{\pi/2} \left ( \frac{\sin 2x}{2} \right )^2 \, \mathrm{d}x\\   
 &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 2x \, \mathrm{d}x\\  
 &=\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi/2} \left ( 1- \cos 4x \right ) \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \frac{\pi}{16} 
\end{aligned}}
Και τέλος για τα δύο μωβ ολοκληρώματα τα οποία είναι ίσα έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x \, \mathrm{d}x &\overset{x \mapsto \pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!}\int_{0}^{\pi/2}\cos x \sin^3 x \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{x \mapsto \sin x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{1} x^3 \, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{1}{4} 
\end{aligned}}
Τώρα ήρθε η ώρα να τα μαζέψουμε. Οπότε έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned}  
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^5 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{8} \cdot \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{16} - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right ) \\ 
 &= \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{32} - \frac{1}{4}\\ 
 &= \frac{7\pi}{32} - \frac{1}{4} 
\end{aligned}}

κ. Μιχάλη τι λύση έχετε;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#166

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 12, 2020 12:38 pm

Τόλη, γλυτώνουμε πολλές πράξεις με μικρά τεχνάσματα.

α) Τα \displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx, \, \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x  dx } έτοιμη αντιπαράγωγος, \displaystyle{\frac {1}{4}  \sin^4 x , \,  \frac {1}{4}  \cos^4 x} αντίστοιχα, οπότε δεν χρειάζεται η μανούβρα που κάνεις.

β) Για το ολοκλήρωμα των υπόλοιπων, δηλαδή \displaystyle{ \sin^4 x + \cos^4 x +\sin^2 x \cos^2 x } είναι πιο απλό να εργαστούμε πακέτo, και να μην τα χωρίσουμε. Συγκεκριμένα να πούμε (γράφω s και c για τα \sin x, \, \cos x)

\displaystyle{s^4+c^4+s^2c^2= (s^2+c^2)^2- s^2c^2= 1-c^2s^2 } που είναι απλό με διπλασια γωνία (το έκανες ήδη αλλά εδώ απορροφά και τις άλλες παραστάσεις).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#167

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 12, 2020 7:33 pm

Άσκηση 58

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{{\sqrt[3]{{1 + \sin x}} - \sqrt[3]{{1 + \cos x}}}}{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} }} \; \mathrm{d} x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#168

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 12, 2020 7:35 pm

Άσκηση 59

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} =\int _0^1 \frac {x+\sin \pi x}{1+2\sin \pi x}\; \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#169

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Ιαν 12, 2020 9:59 pm

Θέτουμε x=1-y οπότε dx=-dy και

J=\int_{0}^{1}\frac{1-x+sin\pi x}{1+2sin\pi x}dx.

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε 2J=1\Rightarrow J=\frac{1}{2}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#170

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 13, 2020 10:10 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιαν 12, 2020 7:33 pm
Άσκηση 58

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{{\sqrt[3]{{1 + \sin x}} - \sqrt[3]{{1 + \cos x}}}}{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} }} \; \mathrm{d} x}
Για να κλείνει. Έχουμε δει παρόμοιες αλλά εδώ τρομάζει η μεγάλη παράσταση. Πλην όμως έχει συμμετρία οπότε...

Θέτοντας x=\pi /2-t και με χρήση των \sin x= \cos t , \cos x = \sin t εύκολα βλέπουμε I=-I, Άρα I=0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#171

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 15, 2020 1:04 am

Άσκηση 60

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{ \int  \dfrac{  x^5+10x^4+44x^3+104x^2+134x+76 }{(x^2+4x+n)^n}dx }}} για (χωριστά) n=1, n=2, n=3 και n\ge 4.

(Μου την έστειλε χθες ένας Ρουμάνος φίλος ο οποίος λέει ότι η άσκηση είναι από παλιό Ρουμάνικο διαγωνισμό. Ομολογώ ότι χρησιμοποίησα λογισμικό σε ένα πρώτο βήμα το οποίο μπορώ μεν να κάνω με το χέρι, αλλά ... και η διαστροφή έχει όρια.
.
Το πρώτο βήμα για το οποίο χρησιμοποίησα λογισμικό είναι
.
ο αριθμητής παραγοντοποιείται ως \displaystyle{(x+2)(x^4+8x^3+28x^2+48x+38)}
.
Το ότι τα n=1, n=2, n=3 και n\ge 4 τα κάνουμε χωριστά δεν μου το είπε ο ίδιος αλλά έτσι βγήκαν στην πορεία.


Λεωνίδας Φ.
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 15, 2019 9:44 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#172

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λεωνίδας Φ. » Πέμ Ιαν 16, 2020 2:05 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 15, 2020 1:04 am
Άσκηση 60

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle{ \int  \dfrac{  x^5+10x^4+44x^3+104x^2+134x+76 }{(x^2+4x+n)^n}dx }}} για (χωριστά) n=1, n=2, n=3 και n\ge 4.

(Μου την έστειλε χθες ένας Ρουμάνος φίλος ο οποίος λέει ότι η άσκηση είναι από παλιό Ρουμάνικο διαγωνισμό. Ομολογώ ότι χρησιμοποίησα λογισμικό σε ένα πρώτο βήμα το οποίο μπορώ μεν να κάνω με το χέρι, αλλά ... και η διαστροφή έχει όρια.
.
Το πρώτο βήμα για το οποίο χρησιμοποίησα λογισμικό είναι
.
ο αριθμητής παραγοντοποιείται ως \displaystyle{(x+2)(x^4+8x^3+28x^2+48x+38)}
.
Το ότι τα n=1, n=2, n=3 και n\ge 4 τα κάνουμε χωριστά δεν μου το είπε ο ίδιος αλλά έτσι βγήκαν στην πορεία.
Έστω I_n το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

Έχουμε:
I_{1} =  \int  \frac{(x+2)( x^{4}+8x^{3}+28x^{2}+48x+38)  }{ x^{2}+4x+1 }dx  =  \int \frac{(x+2)((x^{2}+4x+11)(x^{2}+4x+1)+27)}{x^{2}+4x+1}dx  =  \int(x+2)(x^{2}+4x+11)dx+ \frac{27}{2} \int  \frac{x+2}{x^{2}+4x+1} dx=  \frac{ (x^{2}+4x+11)^{2} }{2}+ \frac{27}{2} ln  |x^{2}+4x+1|  +c_1

 Ι_{2} =  \int (x+2)(1+ \frac{8 x^{2}+32x+32 }{ ( x^{2}+4x+2) ^{2} } )dx =_{u= x^{2}+4x+2} ^{du=2(x+2)dx}   \int \frac{8u+16}{ 2u^{2} } du +  \frac{(x+2)^{2}}{2} = \frac{(x+2)^{2}}{2}+ \int  \frac{4}{u}du +  \int \frac{8}{  u^{2}  }du= \frac{(x+2)^{2}}{2}+4ln | x^{2}+4x+2 | - \frac{8}{x^{2}+4x+2}+c_2

Με την ίδια λογική υπολογίζουμε το I_3= \frac{1}{2}ln |  x^{2}+4x+3 | - \frac{3}{x^{2}+4x+3}- \frac{9}{ (x^{2}+4x+3)^{2} } + c_{3}


Τέλος, για n \geq 4 είναι I_n= \int  \frac{(x+2)( x^{4}+8x^{3}+28x^{2}+48x+38)  }{ (x^{2}+4x+n)^{n}  }dx=_{u= x^{2}+4x} ^{du=2(x+2)dx} \int \frac{u^{2}+12u+38 }{2(u+n)^{n} } du=_{y=u+n} ^{dy=du}  \frac{1}{2} \int\frac{(y-n)^{2}+12(y-n)+38 }{y^{n} }dy=...= \frac{1}{2} \int( y^{2-n}+2(6-n)y^{1-n}+(38-12n)y^{-n})dy= \frac{1}{2} \frac{ y^{3-n} }{3-n}+ \frac{6-n}{2-n} y^{2-n}+ \frac{19-6n}{1-n}y^{1-n} +c_n=\frac{1}{2} \frac{ (x^{2}+4x+n)^{3-n} }{3-n}+ \frac{6-n}{2-n} (x^{2}+4x+n)^{2-n}+ \frac{19-6n}{1-n}(x^{2}+4x+n)^{1-n} +c_n


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#173

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 16, 2020 9:20 am

´Ασκηση 61


Να υπολογιστεί το ολοκληρώμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\sin^3 x + \cos^3 x}\, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8941
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#174

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 16, 2020 5:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 9:20 am
´Ασκηση 61


Να υπολογιστεί το ολοκληρώμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\sin^3 x + \cos^3 x}\, \mathrm{d}x}
\displaystyle J = \int_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x({{\tan }^3}x + 1)}}} {\rm{ }}dx και με την αντικατάσταση \displaystyle \tan x = u, είναι

\displaystyle J = \int_0^1 {\frac{{du}}{{{u^3} + 1}}}  = \int_0^1 {\frac{{du}}{{(u + 1)({u^2} - u + 1)}} = } \int_0^1 {\frac{{du}}{{3(u + 1)}} - \int_0^1 {\frac{{u - 2}}{{3({u^2} - u + 1)}}du} }

\displaystyle J = \left[ {\frac{1}{3}\ln (u + 1)} \right]_0^1 - \frac{1}{6}\left( {\int_0^1 {\frac{{2u - 1}}{{{u^2} - u + 1}}du - \int_0^1 {\frac{3}{{{u^2} - u + 1}}du} } } \right)

\displaystyle J = \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\left[ {\ln ({u^2} - u + 1)} \right]_0^1 + \frac{1}{2}\int_0^1 {\frac{{du}}{{{{(u - \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}}}}  = \frac{1}{3}\ln 2 + \left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{{2u - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right]_0^1 (*)

\boxed{J = \frac{{3\ln 2 + \pi \sqrt 3 }}{9}}


(*) Στο \displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1 {\frac{{du}}{{{{(u - \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}}}} έγινε η αντικατάσταση \displaystyle t = \frac{{2u - 1}}{{\sqrt 3 }} πριν βγει το τελικό αποτέλεσμα.

Ίσως υπάρχει ευκολότερος τρόπος.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#175

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 16, 2020 5:56 pm

Άσκηση 62

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\sqrt[5]{\ln 3}}^{\sqrt[5]{\ln 5}} \frac{x^4 \sin x^5}{\sin x^5 + \sin \left ( \ln 15 - x^5 \right )} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8941
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#176

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 17, 2020 11:26 am

Άσκηση 63

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int {\frac{{1 + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}} {\rm{ }}dx


perpant
Δημοσιεύσεις: 456
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#177

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Σάβ Ιαν 18, 2020 12:19 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 17, 2020 11:26 am
Άσκηση 63

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int {\frac{{1 + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}} {\rm{ }}dx
Καλημέρα

\displaystyle \int {\frac{{1 + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}dx = }


\displaystyle  = \int {\frac{{1 + x{e^x} - x{e^x} + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}dx}

\displaystyle  = \int {\left( {1 + \frac{{x{e^{2x}} - x{e^x}}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx

\displaystyle  = \int {\left( {1 + \frac{{{e^x} + x{e^{2x}} - x{e^x} - {e^x}}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx

\displaystyle  = \int {\left( {1 + \frac{{{e^x}\left( {1 + x{e^x}} \right) - \left( {x + 1} \right){e^x}}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx

\displaystyle  = \int {\left( {1 + {e^x} - \frac{{{{\left( {1 + x{e^x}} \right)}^\prime }}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx

\displaystyle  = x + {e^x} - \ln \left( {1 + x{e^x}} \right) + c


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11348
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#178

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 18, 2020 4:41 pm

Άσκηση 64

Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{a}{e^{ax}+1}}dx


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#179

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 18, 2020 6:09 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 18, 2020 4:41 pm
Άσκηση 64

Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{a}{e^{ax}+1}}dx

Χρόνια πολλά Θανάση. Για το ολοκλήρωμα έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &= \int_{-1}^{1} \frac{a}{e^{ax}+1} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{x \mapsto -x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{-1}^{1} \frac{a}{e^{-ax}+1} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{-1}^{1} \frac{a e^{ax}}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{1}{2} \left ( \int_{-1}^{1} \frac{a}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x + \int_{-1}^{1} \frac{a e^{ax}}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x \right ) \\  
 &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \frac{a \left ( 1+e^{ax} \right )}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x  \\ 
 &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} a \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \frac{1}{2} \cdot 2a \\  
 &=a 
 \end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2224
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#180

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Ιαν 18, 2020 6:28 pm

\displaystyle{I=\int_{-1}^{1}{\frac{a}{e^{ax}+1}dx}=\int_{-a}^{a}{\frac{1}{e^{u}+1}du}=}

\displaystyle{=\int_{-a}^{a}{\frac{1}{e^{-t}+1}dt}

\displaystyle{=\int_{-a}^{a}{\frac{e^t+1-1}{e^{t}+1}dt}

\displaystyle{=2a-\int_{-a}^{a}{\frac{1}{e^{t}+1}dt}

\displaystyle{=2a-\int_{-1}^{1}{\frac{a}{e^{ax}+1}dx}}

\displaystyle{I=a}
αλλη βολική αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{e^{ax}+1=w}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: R BORIS και 1 επισκέπτης