Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#181

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Ιαν 18, 2020 8:12 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 5:56 pm
Άσκηση 62

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\sqrt[5]{\ln 3}}^{\sqrt[5]{\ln 5}} \frac{x^4 \sin x^5}{\sin x^5 + \sin \left ( \ln 15 - x^5 \right )} \, \mathrm{d}x}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...

Θέτοντας όπου x^5=u έχουμε :

\displaystyle{\mathcal{J} = \frac{1}{5} \int_{{\ln 3}}^{{\ln 5}} \frac{\sin u}{\sin u + \sin \left ( \ln 15 - u \right )} \, \mathrm{d}u} .

Και ξανά ... θέτοντας t= \ln15-u έχουμε :

\displaystyle{\mathcal{J} =\frac{1}{5} \int_{{\ln 3}}^{{\ln 5}} \frac{\sin (\ln15-t)}{\sin t + \sin \left ( \ln 15 - t \right )} \, \mathrm{d}t} .

Τώρα προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε :

\displaystyle{2\mathcal{J} =\frac{1}{5} \int_{{\ln 3}}^{{\ln 5}}  \mathrm{d}x} =\frac{1}{10} \ln\frac{5}{3} .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#182

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 18, 2020 10:26 pm

Πολλές από τις ασκήσεις που είδαμε είναι ειδική περίπτωση της ακόλουθης, την οπόια θέτω προς επίλυση αν και ουσιστικά είναι τετριμμένη.
Δείτε όμως το παρακάτω σχόλιο.

Άσκηση 65

Έστω \displaystyle{f:[a, b]\to \mathbb R} συνεχής (γενικότερα, ολοκληρώσιμη) συνάρτηση και έστω \displaystyle{g(x) = f(x) + f(a+b-x)}. Τότε

\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx  = \frac {1}{2} \int _a^b g(x) dx}.

Σχόλιο: Γιατί τα λέω όλα αυτά;
Αν η g έχει εύκολο ολοκλήρωμα, τότε βγάζουμε το ολοκλήρωμα της f, που μπορεί να είναι πιο δύσκολο.

Για παράδειγμα η Άσκηση 55 (βλέπε ποστ #159) είναι η ειδική περίπτωση g(x)=0. Αλλά και πολλές ασκήσεις εδώ έχουν λυθεί
με χρήση της παραπάνω Άσκησης 65. Τέτοιες π.χ. είναι οι Ασκήσεις 33 (βλέπε ποστ #102), 48 (βλέπε ποστ #143), 49 (βλέπε ποστ #145), 64 (βλέπε ποστ #179), και πολλές ακόμη.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#183

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 18, 2020 10:45 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 18, 2020 10:26 pm

Άσκηση 65

Έστω \displaystyle{f:[a, b]\to \mathbb R} συνεχής (γενικότερα, ολοκληρώσιμη) συνάρτηση και έστω \displaystyle{g(x) = f(x) + f(a+b-x)}. Τότε

\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx  = \frac {1}{2} \int _a^b g(x) dx}.

Με την αλλαγή μεταβλητής u=a+b-x έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x &\overset{u = a+b-x}{=\! =\! =\! =\!=\!=\!} \int_{a}^{b} f \left ( a+b-x \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{1}{2} \left ( \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} f \left ( a+b-x \right ) \, \mathrm{d}x  \right ) \\  
 &=\frac{1}{2} \int_a^b \big ( f(x) + f\left ( a+b-x \right ) \big )\, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{1}{2} \int_a^b g(x) \, \mathrm{d}x 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#184

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm

Άσκηση 66


Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} η οποία ορίζεται ως:

\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 
1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\  
0 & , & s<\frac{1}{2}  
\end{matrix}\right.}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#185

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:18 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm
Άσκηση 66


Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} η οποία ορίζεται ως:

\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 
1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\  
0 & , & s<\frac{1}{2}  
\end{matrix}\right.}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x.

Όχι , ε;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#186

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:36 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:18 pm

Όχι , ε;
Όχι. Είσαι εκτός φακέλου.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#187

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 02, 2020 10:25 am

Άσκηση 67


Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#188

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Φεβ 02, 2020 1:43 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 10:25 am
Άσκηση 67


Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...

Είναι :   \mathcal{J} =  \displaystyle{ \int_1^e e^{lnx^{\frac{1}{lnx}}} dx  =\displaystyle{ \int_1^e e^{\frac{1}{lnx}\cdot lnx} dx =  \displaystyle{ \int_1^e e dx =   e^2 -e .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#189

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 02, 2020 2:33 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 1:43 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 10:25 am
Άσκηση 67


Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e x^{1/\ln x} \, \mathrm{d}x}
Είναι :   \mathcal{J} =  \displaystyle{ \int_1^e e^{lnx^{\frac{1}{lnx}}} dx  =\displaystyle{ \int_1^e e^{\frac{1}{lnx}\cdot lnx} dx =  \displaystyle{ \int_1^e e dx =   e^2 -e .
Σωστά, αλλά η εκφώνηση έχει μικρό πρόβλημα σε επίπεδο Λυκείου: Για x=1 δεν ορίζεται 1/ln x. Διορθώνεται εύκολα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση  x^{1/\ln x} για \ne 1 και το όριό της (ίσον e) καθώς x\to 1 στο 1.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11349
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#190

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 04, 2020 9:51 pm

Άσκηση 68

α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{xlnx}{x-1} & , x>1\\ 
 & \\ 
 1& , x=1
\end{matrix}\right. , είναι συνεχής στο x_{0}=1


β) Δείξτε ότι : \dfrac{3\sqrt{e}-4}{2}<\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)dx<\dfrac{\sqrt{e^3}-1}{3}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2887
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#191

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 04, 2020 11:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 04, 2020 9:51 pm
Άσκηση 68

α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\dfrac{xlnx}{x-1} & , x>1\\  
 & \\  
 1& , x=1 
\end{matrix}\right. , είναι συνεχής στο x_{0}=1


β) Δείξτε ότι : \dfrac{3\sqrt{e}-4}{2}<\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)dx<\dfrac{\sqrt{e^3}-1}{3}
Χρησιμοποιώντας την
1-\frac{1}{x}\leq \ln x\leq x-1
και ολοκληρώνοντας το ολοκλήρωμα είναι μεταξύ των
\sqrt{e}-1,\frac{e-1}{2}
Ειναι τετριμμένο να δείξουμε ότι
\frac{3\sqrt{e}-4}{2}< \sqrt{e}-1,\frac{e-1}{2}< \frac{\sqrt{e^{3}}-1}{3}
που δίνουν το ζητούμενο.

Μου μένει η απορία πως προέκυψαν τα αρχικά φράγματα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11349
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#192

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 05, 2020 12:08 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Φεβ 04, 2020 11:54 pm

Μου μένει η απορία πως προέκυψαν τα αρχικά φράγματα.
Σταύρο , όταν ανέβασα την άσκηση σκέφτηκα να γράψω και το : "Φυσικά μπορείτε να βρείτε καλύτερα

φράγματα " . Η σχέση που χρησιμοποίησες παράγεται από Θ.Μ.Τ για την f(x)=lnx στο  [1 , x]

( 1<\dfrac{xlnx}{x-1}<x ) . Αλλά ας δούμε πως προέκυψαν τα προταθέντα : Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Τ

στο ίδιο διάστημα για την : f(x)=\dfrac{lnx}{x} , προκύπτει : \dfrac{1-lnx}{x^2}<\dfrac{lnx}{x(x-1)}<1 ,

η οποία γίνεται : 1-lnx<\dfrac{xlnx}{x-1}<x^2 , οπότε προκύπτουν τα αναγραφόμενα .

Αναζητώντας καλύτερο άνω φράγμα , μπορεί κανείς να παρατηρήσει , ότι : \dfrac{xlnx}{x-1}<\sqrt{x} ,

 (x\neq 1 , x>0 ) . ( Δεν είναι τόσο απλό ! ) . Τότε : \displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)dx<\dfrac{2e^{\frac{3}{4}}-2}{3}

Οι προσεγγιστικές τιμές των προτεινόμενων φραγμάτων είναι διαδοχικά : 1,16..., 0,859 .... 0,7446 ,

με την τελευταία να μην απέχει πολύ από την τιμή του ολοκληρώματος , που είναι : 0,7416


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2887
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#193

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 05, 2020 2:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 05, 2020 12:08 pm
Η σχέση που χρησιμοποίησες παράγεται από Θ.Μ.Τ για την f(x)=lnx στο  [1 , x]
Η σχέση που χρησιμοποίησα βγαίνει με πολλούς άλλους τρόπους.
π.χ κυρτότητα.
Συνήθως την χρησιμοποιούμαι για να βρούμε την παράγωγο της \ln x.
Ετσι η απόδειξη της με Θ.Μ.Τ κυρτότητα κ.λ.π οδηγεί σε κύκλο.
Η σωστή απόδειξη της πρέπει να γίνει είτε από τον αυστηρό ορισμό του \ln x είτε του e^x.
(και υπάρχουν αρκετοί τέτοιοι)
KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 05, 2020 12:08 pm
Οι προσεγγιστικές τιμές των προτεινόμενων φραγμάτων είναι διαδοχικά : 1,16..., 0,859 .... 0,7446 ,

με την τελευταία να μην απέχει πολύ από την τιμή του ολοκληρώματος , που είναι : 0,7416
Δεν είναι αυτή η τιμή του ολοκληρώματος.
Η έκφραση ''απέχει πολύ από την τιμή'' η λίγο το ίδιο είναι δεν είναι μαθηματική έκφραση.
Σε κάποιες εφαρμογές σφάλμα της τάξης 0,001 θεωρείται απαγορευτικό.

Το ολοκλήρωμα είναι

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}(\sqrt{e}-1)^{n+1}(\sqrt{e}-\frac{\sqrt{e}-1}{(n+2)})

οπότε μπορούμε να το προσεγγίσουμε όσο καλά θέλουμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2887
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#194

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 05, 2020 9:44 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 8:19 pm
Άσκηση 66


Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} η οποία ορίζεται ως:

\displaystyle{g(s)=\left\{\begin{matrix} 
1 & , & s\geq \frac{1}{2} \\\\  
0 & , & s<\frac{1}{2}  
\end{matrix}\right.}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \bigintsss_0^1 g\left ( \cos \pi x \right )\, \mathrm{d}x.
Για x\in (0,1)

έχουμε
\cos \pi x\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \pi x\leq \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{3}

Ετσι το ολοκλήρωμα είναι

\int_{0}^{\frac{1}{3}}1dx=\frac{1}{3}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#195

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 07, 2020 3:04 pm

Άσκηση 69

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{2} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-5x+7}}{\sqrt{x^2-x+1} + \sqrt{x^2-3x+3}} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#196

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 07, 2020 3:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 07, 2020 3:04 pm
Άσκηση 69

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{2} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-5x+7}}{\sqrt{x^2-x+1} + \sqrt{x^2-3x+3}} \, \mathrm{d}x}
Καλό.

Η αλλαγή μεταβλητής y=2-x δίνει

\displaystyle{\sqrt{x^2+x+1} = \sqrt{(2-y)^2+(2-y)+1} = \sqrt{y^2-5y+7}} που είναι το δεύτερο ριζικό στον αριθμητή. Όμοια ο δεύτερος γίνεται όσο ο πρώτος. Το ίδιο και οι παρονομαστές, μετασχηματίζονται ο ένας στον άλλον. Έτσι έχουμε την περίπτωση

\displaystyle{ I = \int _0^2 \dfrac {A-B}{C+D} dx = \int _0^2 \dfrac {B-A}{C+D} dy = -I}.

'Αρα I=0


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11349
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#197

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 08, 2020 6:33 pm

Άσκηση 70

Δείξτε ότι : \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin(x)}   dx>\frac{2\pi}{3}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#198

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 08, 2020 8:03 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 08, 2020 6:33 pm
Άσκηση 70

Δείξτε ότι : \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin(x)}   dx>\frac{2\pi}{3}

Από τη βασική ανισότητα \displaystyle{\sin x \geq \frac{2x}{\pi}\; , \;  x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right]} έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin x} \, \mathrm{d}x &= 2\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin x} \, \mathrm{d}x \\  
 &> 2\int_{0}^{\pi/2}  \sqrt{\frac{2x}{\pi}} \, \mathrm{d}x\\  
 &= \frac{2\pi}{3} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#199

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 15, 2020 8:22 pm

Άσκηση 71


Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x =  \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right )}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11892
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#200

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 16, 2020 12:55 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:22 pm
Άσκηση 71


Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x =  \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right )}
Μπορούμε και το αόριστο ολοκλήρωμα:

Η αλλαγή μεταβλητής y =  x + \frac{\pi}{4} το μετατρέπει σε ολοκλήρωμα της

\displaystyle{ \frac{\sin^2 (y - \frac{\pi}{4})}{\sin y} =  \frac{(\frac {\sqrt 2}{2} \sin y -\frac {\sqrt 2}{2} \cos y)^2}{\sin y}    = \frac {1}{2}  \frac{\sin ^2 y-2 \sin y  \cos y + \cos ^2y}{\sin y} =  \frac {1}{2}  \left ( \frac {1}{\sin y}  - 2 \cos y \right )}

που είναι άμεσο ως άθροισμα δύο γνωστών.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: R BORIS και 2 επισκέπτες