Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 16, 2019 11:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 8:52 pm
Συμπλήρωμα της προηγούμενης:

Άσκηση 8β

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {\{x\}}{\sin x}\, dx}}.

Εδώ \{x\} είναι το κλασματικό μέρος του x. Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε αυτά που βρήκε ο Τόλης στο αμέσως προηγούμενο ποστ.
Αφού το έπιασα , ας το τελειώσω κιόλας...


Λήμμα 1: Ισχύει ότι \displaystyle{\int_{\pi/3}^{2} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}=\frac{\ln 3}{2} + \ln \tan 1}.


Απόδειξη:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/3}^{2} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} &= \int_{\pi/3}^{2}\frac{\sin x}{\sin^2 x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \int_{\pi/3}^{2} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} \,\mathrm{d}x \ \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!} -\int_{1/2}^{\cos 2} \frac{\mathrm{d}u}{1-u^2} \\  
 &= \int_{\cos 2}^{1/2} \frac{\mathrm{d}u}{1-u^2}\\  
 &= \frac{1}{2} \left [ \ln \left | u+1 \right | - \ln \left | u-1 \right | \right ]_{\cos 2}^{1/2} \\ 
 &=\frac{1}{2} \left [ \ln \frac{3}{2} - \ln \frac{1}{2} - \ln \left | 1+\cos 2 \right | + \ln  \left | \cos 2 -1 \right |\right ] \\ 
 &= \frac{\ln 3}{2} + \frac{1}{2}\ln \left | \frac{\cos 2-1}{ 1+\cos 2} \right |\\ 
 &= \frac{\ln 3}{2} + \frac{1}{2}\ln \left | -\tan^2 1 \right | \\ 
 &=\frac{\ln 3}{2} + \ln  \tan 1  
\end{aligned}}

Λήμμα 2: Ισχύει ότι \displaystyle{\int_{2}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}=\frac{\ln 3}{2} - \ln \tan 1}.


Απόδειξη: Έπεται από το γεγονός ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/3}^{2}\frac{\mathrm{d}x}{\sin x}+\int_{2}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}  &\Leftrightarrow \frac{\ln 3}{2} + \ln  \tan 1  +\int_{2}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} = \ln 3  \\  
 &\Leftrightarrow \int_{2}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} = \frac{\ln 3}{2} -\ln \tan 1  
\end{aligned}}
Οπότε για το αρχικό ολοκλήρωμα έχουμε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\left \{ x \right \}}{\sin x}\, \mathrm{d} x&= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{x}{\sin x} \, \mathrm{d}x - \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\left \lfloor x \right \rfloor}{\sin x} \, \mathrm{d}x\\  
 &= \frac{\pi \ln 3}{2} - \int_{\pi/3}^{2}\frac{\mathrm{d}x}{\sin x} - 2 \int_{2}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} \\  
 &= \frac{\pi \ln 3}{2} - \frac{\ln 3}{2} - \ln \tan 1 - 2 \left ( \frac{\ln 3}{2} - \ln \tan 1 \right )\\  
 &= \frac{\pi \ln 3}{2} - \frac{3 \ln 3}{2} + \ln \tan 1 
\end{aligned}}
Επόμενη άσκηση παρακαλώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 17, 2019 12:56 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 11:53 pm

Επόμενη άσκηση παρακαλώ.
Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-\pi }^{\pi } (\sin x)\ln (1+2^{\sin x} +3^{\sin x}+6^{\sin x})\, dx}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 17, 2019 1:51 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Δεκ 17, 2019 12:56 am

Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-\pi }^{\pi } (\sin x)\ln (1+2^{\sin x} +3^{\sin x}+6^{\sin x})\, dx}.
Όμορφο...


Έστω \mathcal{J} το ζητούμενο ολοκλήρωμα. Τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &= \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \ln \left ( 1+ 2^{\sin x} + 3^{\sin x} +6^{\sin x} \right ) \, \mathrm{d} x\\  
 &\!\!\!\!\!\overset{u=-x}{=\! =\! =\! =\!} -\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \ln \left ( 1+2^{-\sin x} + 3^{-\sin x} + 6^{-\sin x} \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \ln \left ( 6^{-\sin x} \left ( 1+ 3^{\sin x}\right ) \left ( 1+2^{\sin x} \right ) \right )\, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \left ( \ln \left ( 1+ 2^{\sin x} + 3^{\sin x} +6^{\sin x} \right ) - \ln 6 \cdot \sin x \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=  -\mathcal{J} + \ln 6\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x \, \mathrm{d}x \\ 
 &= -\mathcal{J} + \pi \ln 6 \\ 
 &\implies \mathcal{J} = \frac{\pi \ln 6}{2} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 17, 2019 7:31 am

Σωστά. Απλά να σχολιάσω (επειδή μας διαβάζουν μαθητές) ότι το βήμα

\displaystyle{ 1+2^{-\sin x} + 3^{-\sin x} + 6^{-\sin x} =6^{-\sin x} \left ( 1+ 3^{\sin x}\right ) \left ( 1+2^{\sin x} \right )}

έχει ένα περιττό/αφύσικο στοιχείο (την παραγοντοποίηση) που κάνει την λύση να μοιάζει "ουρανοκατέβατη". Πιο απλά και φυσιολογικά κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και τα προσθέτουμε. Το δεξί μέλος είναι

\displaystyle{ \dfrac {1+2^{\sin x} + 3^{\sin x} + 6^{\sin x}}{6^{\sin x} } } , και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Δεκ 17, 2019 1:18 pm

Επόμενο δεν έχουμε;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 321
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Δεκ 17, 2019 5:53 pm

Άσκηση 9)

Να υπολογιστεί το \displaystyle \int \frac{sin(x-a)}{sin(x-b)} dx


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 17, 2019 6:49 pm

mick7 έγραψε:
Τρί Δεκ 17, 2019 5:53 pm
Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το \displaystyle \int \frac{sin(x-a)}{sin(x-b)} dx
Ας διορθωθεί η αρίθμηση ώστε να γίνει Άσκηση 10.

Ισοδύναμο με το \displaystyle \int \frac{\sin(y+c)}{\sin y} dy = \int \frac{\sin y \cos c + \cos y \sin c}{sin y} dy  =  y \cos c + \sin c \int \cot y } dy = γνωστό. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 17, 2019 7:40 pm

Άσκηση 11

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{dx}{2+\sqrt{4x}}

Υπολογίστε το : \displaystyle \lim\limits _{n \to +\infty}\int_{n^2}^{(n+1)^2}\frac{dx}{2+\sqrt{4x}}


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τρί Δεκ 17, 2019 8:31 pm

Καλησπέρα!

Για την άσκηση 11:

Εχω I=\int \dfrac{1}{2+\sqrt{4x}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\cdot (\sqrt{x})'dx


Όμως

\int \dfrac{y}{1+y}dy=\int 1dy-\int \dfrac{1}{1+y}dy=y-ln(1+y)+c

Αρα

I=\sqrt{x}-ln(1+\sqrt{x})+c

Εχω:

\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{n^2}^{(n+1)^2}\dfrac{1}{2+\sqrt{4x}}dx=\lim_{n\rightarrow +\infty }[\sqrt{x}-ln(1+\sqrt{x})]_{_{n^2}} ^{(n+1)^2}
    =\lim_{n\rightarrow +\infty }(1-ln(n+2)+ln(n+1))= \lim_{n\rightarrow +\infty }[1-ln(\dfrac{n+2}{n+1})]=\lim_{n\rightarrow +\infty }[1-ln(1+\dfrac{1}{n+1})]=1-ln1=1


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Τρί Δεκ 17, 2019 8:35 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 17, 2019 7:40 pm
Άσκηση 11

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{dx}{2+\sqrt{4x}}

Υπολογίστε το : \displaystyle \lim\limits _{n \to +\infty}\int_{n^2}^{(n+1)^2}\frac{dx}{2+\sqrt{4x}}
Θέτουμε \displaystyle u=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=u^2, οπότε \displaystyle dx=2udu και έχουμε: \displaystyle \int \dfrac{dx}{2+\sqrt{4x}}=\int \dfrac{2udu}{2\left(1+u\right)}=\int\left(1-\dfrac{1}{u+1}\right)\, du=u-\ln\left|u+1\right|+c=\sqrt{x}-\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+c.

Για \displaystyle n>0 βρίσκουμε: \displaystyle \int_{n^2}^{(n+1)^2} \dfrac{dx}{2+\sqrt{4x}}=1+\ln\left(1-\dfrac{1}{n+2}\right), οπότε
\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\displaystyle \int_{n^2}^{(n+1)^2} \dfrac{dx}{2+\sqrt{4x}}=1+\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\ln\left(1-\dfrac{1}{n+2}\right)\right)=1.


The road to success is always under construction
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3004
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Δεκ 17, 2019 8:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 17, 2019 7:40 pm
Άσκηση 11

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{dx}{2+\sqrt{4x}}

Υπολογίστε το : \displaystyle \lim\limits _{n \to +\infty}\int_{n^2}^{(n+1)^2}\frac{dx}{2+\sqrt{4x}}
Δεν χρειάζεται υπολογισμός του ολοκληρώματος για την εύρεση του ορίου.
Είναι

\displaystyle ((n+1)^{2}-n^{2})\frac{1}{2+2(n+1)}\leq \int_{n^2}^{(n+1)^2}\frac{dx}{2+\sqrt{4x}}\leq ((n+1)^{2}-n^{2})\frac{1}{2+2n}

κλπ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am

Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το \displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}

Ίσως σας παιδέψει αλλά η σωστή αλλαγή μεταβλητής το στρώνει.

Edit: Πρόσθεσα τα άκρα της ολοκλήρωσης, που τα είχα ξεχάσει. :oops:
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Δεκ 18, 2019 12:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 18, 2019 9:13 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am
Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το \displaystyle{ \displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}

Ίσως σας παιδέψει αλλά η σωστή αλλαγή μεταβλητής το στρώνει.
Μιχάλη σίγουρα είναι έτσι; Δε νομίζω να είναι για Γ .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 18, 2019 12:48 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 9:13 am
Μιχάλη σίγουρα είναι έτσι; Δε νομίζω να είναι για Γ .
Τόλη, έχεις δίκιο. Λείπουν τα άκρα της ολοκλήρωσης, που τα είχα ξεχάσει. Το έφτιαξα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 18, 2019 2:22 pm

Άσκηση 13

Δίνεται η συνάρτηση : \displaystyle f(x)=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}} . Βρείτε εκείνη την παράγουσα F της f

στην οποία η σταθερά ολοκλήρωσης c είναι 0 . Ποια είναι τα κοινά σημεία των C_{f} , C_{F} ;


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2230
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Δεκ 18, 2019 2:26 pm

\displaystyle{I=\int_{0}^{\pi /4}{\frac{1+tanx}{1+tan^2x}(1+tan^2x)dx}=\int_{0}^{\pi /4}{ln(1+tanx)dx} 
 
\int_{0}^{\pi /4}{ln(1+\frac{1-tanx}{1+tanx})dx}=\int_{0}^{\pi /4}(ln2-ln(1+tanx))dx= 
 
\pi /4 ln2-I}
οπότε

\displaystyle{I=(\pi /8) ln2}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 18, 2019 2:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am
Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το \displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x \mapsto \frac{1-x}{1+x} οπότε έχουμε, αν \mathcal{J} το ολοκλήρωμα τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &=\int_0^1 \dfrac{\ln\left(\tfrac{2}{1+x}\right)}{1+x^2} \, \mathrm{d}x\\ 
&=\int_0^1 \dfrac{\ln 2}{1+x^2}\, \mathrm{d}x- \mathcal{J}\\ 
&=\dfrac{\pi \ln 2}{4}- \mathcal{J} \\ 
&\implies \mathcal{J} = \frac{\pi \ln 2}{8} 
\end{aligned} }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 18, 2019 5:40 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 2:22 pm
Άσκηση 13

Δίνεται η συνάρτηση : \displaystyle f(x)=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}} . Βρείτε εκείνη την παράγουσα F της f

στην οποία η σταθερά ολοκλήρωσης c είναι 0 . Ποια είναι τα κοινά σημεία των C_{f} , C_{F} ;
Θέτοντας x=y^2 και με κατά παράγοντες έχουμε

\displaystyle{ \int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx = \int (4y+2y^2)e^ydy= \int 4ye^ydy + 2y^2e^y - \int 4ye^ydy = 2y^2e^y+c = 2xe^{\sqrt{x}}+c}

Δηλαδή \displaystyle{F(x)=2xe^{\sqrt{x}}}. Για τα κοινά σημεία θέλουμε \displaystyle{ 2xe^{\sqrt{x}}= (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}}, ισοδύναμα \displaystyle{ 2x= 2+\sqrt{x}}. Λύνοντας, την 2y^2=2+y η θετική ρίζα είναι y= \frac {1+ \sqrt {17}}{4}} , οπότε x= y^2 = \frac {9+ \sqrt {17}}{8}} .

Edit: Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου υπέδειξε ο θεματοθέτης Θανάσης. Τον ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Δεκ 18, 2019 7:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 18, 2019 5:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am
Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το \displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}
Άσκηση 12B

Nα υπολογισθεί το \displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\arctan x}{1+x}\,dx}

Λόγω του \arctan x είναι εκτός σχολικής ύλης. Την τοποθετώ μόνο και μόνο γιατί είναι το δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης 12. Το μόνο που χρειάζεται να ξέρεις για την \arctan είναι ότι (\arctan x)' = \frac {1}{1+x^2} .


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Δεκ 18, 2019 8:18 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 5:49 pm

Άσκηση 12B

Nα υπολογισθεί το \displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\arctan x}{1+x}\,dx}

Λόγω του \arctan x είναι εκτός σχολικής ύλης. Την τοποθετώ μόνο και μόνο γιατί είναι το δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης 12. Το μόνο που χρειάζεται να ξέρεις για την \arctan είναι ότι (\arctan x)' = \frac {1}{1+x^2} .

Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{1+x}\, \mathrm{d}x &= \left [ \ln(x+1) \arctan x \right ]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, \mathrm{d}x\\  
 &=\frac{\pi \ln 2}{4} - \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{\pi \ln 2}{4}- \frac{\pi \ln 2}{8} \\  
 &= \frac{\pi \ln 2}{8} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης