Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4331
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#201

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 16, 2020 2:02 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Φεβ 15, 2020 8:22 pm
Άσκηση 71


Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x =  \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right )}

Αυτό που είχα κατά νου ήταν το ακόλουθο:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &=  \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \sqrt{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{y=\pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\!=\! =\!} \sqrt{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \frac{\sqrt{2}}{2} \left (\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x } \, \mathrm{d}x  +\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x\right ) \\ 
 &=\frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{\cos \left ( x - \frac{\pi}{4} \right )} \\ 
 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{2}{\cos x} \, \mathrm{d}x \\ 
 &= \left [ \ln \left ( \tan x  + \frac{1}{\cos x} \right ) \right ]_0^{\pi/4} \\ 
 &= \ln \left ( 1 + \sqrt{2} \right ) 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#202

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 24, 2020 8:32 pm

Άσκηση 72

Δείξτε ότι : \dfrac{43}{30}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x^2}dx<\dfrac{52}{30}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12318
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#203

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 24, 2020 9:04 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 24, 2020 8:32 pm
Άσκηση 72

Δείξτε ότι : \dfrac{43}{30}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x^2})dx<\dfrac{52}{30}
Με χρήση του e^t \ge 1+t+t^2/2 έχουμε

\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{x^2}dx \ge \int_{0}^{1}\left (1+x^2 + \frac {x^4}{2}\right ) dx = \dfrac{43}{30}} (η αριστερή).

\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{x^2}dx \le \int_{0}^{1}e^{x}dx = e-1< 2,72-1= \dfrac{51,6}{30}  <  \dfrac{52}{30}} (η δεξιά).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3126
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#204

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 24, 2020 9:07 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 24, 2020 8:32 pm
Άσκηση 72

Δείξτε ότι : \dfrac{43}{30}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x^2}dx<\dfrac{52}{30}
Για x\in (0,1)
είναι
\displaystyle 1+x+\frac{1}{2}x^{2}< e^{x}< 1+x+\frac{1}{2}x^{2}+e\frac{1}{6}x^{3}
(απόδειξη θεωρώντας συναρτήσεις και παραγωγίζοντας οσες φορές χρειάζεται)
οπότε βάζοντας όπου x το
x^2 γίνεται

\displaystyle 1+x^2+\frac{1}{2}x^{4}< e^{x}< 1+x^2+\frac{1}{2}x^{4}+e\frac{1}{6}x^{6}

ολοκληρώνοντας την τελευταία παίρνουμε

\displaystyle \dfrac{43}{30}< \int_{0}^{1}e^{x^2}dx<\dfrac{43}{30}+e\frac{1}{7.6}< \dfrac{43}{30}+\frac{28}{10}\frac{1}{7.6}=\frac{45}{30}

Γενικότερα για x\in (0,1)
είναι

\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}< e^{x}< \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+e\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}

και με βάση αυτή προσεγγίζουμε το ολοκλήρωμα με όσο σφάλμα θέλουμε.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#205

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 25, 2020 1:10 pm

Η άσκηση δομήθηκε για να λυθεί , όπως ακριβώς προτείνει ο Μιχάλης .

Το άνω φράγμα είναι αρκετά μεγάλο και εύλογα επιδιώκεται η μείωσή του .

Ομολογώ ότι πρώτη φορά βλέπω την εξαιρετική ανισότητα που προτείνει ο Σταύρος ,

νομίζω πάντως ότι είναι μακριά από το βεληνεκές ακόμα και "ψαγμένων" μαθητών .

Αντ' αυτής προτείνω την αξιοποίηση της : e^x<1+2x , \forall x\in (0,1) ,

η οποία κατεβάζει το άνω φράγμα στο : \dfrac{50}{30} . Είναι πιθανό

να υπάρχει περαιτέρω βελτίωση ( με σχολική ύλη ) . Ίδωμεν ...


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#206

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Φεβ 28, 2020 9:22 pm

Άσκηση 73

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4331
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#207

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 28, 2020 10:00 pm

mick7 έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 9:22 pm
Άσκηση 73

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx

Από συμμετρία .... 0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#208

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Παρ Φεβ 28, 2020 11:37 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 10:00 pm
mick7 έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 9:22 pm
Άσκηση 73

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{1}^{9} (x-1)(x-2)(x-3)...(x-9)dx

Από συμμετρία .... 0.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω x-5=u. Είναι I=\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du=
=\displaystyle \int_{-4}^{0} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du  +
+ \displaystyle \int_{0}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du  = I_1 +I_2
Θέτω t=-u, οπότε
 I_1=\displaystyle \int_{0}^{4} (-t+4)(-t+3)(-t+2)(-t+1)(-t)(-t-1)(-t-2)(-t-3)(-t-4)dt  =
=-\displaystyle \int_{0}^{4} (t-4)(t-3)(t-2)(t-1)t(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)dt  = -I_2 .
Άρα I=0.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#209

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 29, 2020 9:54 am

Άσκηση 74

Υπολογίστε την τιμή του a για την οποία τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις C_{f} , C_{g}

και τον άξονα x'x , είναι ίσα . Μιλάμε για τις : f(x)=a-x^2 και g(x)=a\cos x .


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#210

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Φεβ 29, 2020 2:09 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 29, 2020 9:54 am
Άσκηση 74

Υπολογίστε την τιμή του a για την οποία τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις C_{f} , C_{g}

και τον άξονα x'x , είναι ίσα . Μιλάμε για τις : f(x)=a-x^2 και g(x)=a\cos x .
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Είναι \displaystyle{E\left ( \Omega _1 \right )= \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx} =\dfrac{4a\sqrt{a}}{3}

και \displaystyle{E\left ( \Omega _2 \right )= \int_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}}acosxdx} = 2a .

Άρα  E\left ( \Omega _1 \right )= E\left ( \Omega _2 \right )= \Leftrightarrow \dfrac{4a\sqrt{a}}{3} = 2a \Leftrightarrow a=\dfrac{9}{4}.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Ευχαριστώ τον KARKAR για την διόρθωση ...


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#211

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 29, 2020 7:43 pm

Για την ορθότητα της εκφώνησης , για την g(x)=a\cos x , ζητάμε το εμβαδόν του χωρίου που δημιουργείται

από την γραφική παράστασή της και το τμήμα του x'x , μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών ...


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#212

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Φεβ 29, 2020 9:50 pm

Παρατηρώντας το παρακάτω λόγω συμμετρίας είναι...0

\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du=\int_{-4}^{4} (u^2-16)(u^2-9)(u^2-4)(u^2-1)udu

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Παρ Φεβ 28, 2020 11:37 pm

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Θέτω x-5=u. Είναι I=\displaystyle \int_{-4}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du=
=\displaystyle \int_{-4}^{0} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du  +
+ \displaystyle \int_{0}^{4} (u+4)(u+3)(u+2)(u+1)u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)du  = I_1 +I_2
Θέτω t=-u, οπότε
 I_1=\displaystyle \int_{0}^{4} (-t+4)(-t+3)(-t+2)(-t+1)(-t)(-t-1)(-t-2)(-t-3)(-t-4)dt  =
=-\displaystyle \int_{0}^{4} (t-4)(t-3)(t-2)(t-1)t(t+1)(t+2)(t+3)(t+4)dt  = -I_2 .
Άρα I=0.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#213

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm

Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x} , είναι παράγουσα της : f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}

β) Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx . Σχολιάστε !


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#214

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Μαρ 01, 2020 12:26 pm

Προφανώς πρέπει να βρούμε το πλευρικό όριο της συνάρτησης F στο \frac{\pi }{2} εξ αριστερών. Τελικά το ολοκλήρωμα βγαίνει ίσο με 1.


'Ο Αϊνστάιν είπε πως ο θεός δεν παίζει ζάρια. Εγώ δεν πιστεύω μόνο ότι παίζει αλλά ότι δεν ξέρει και που τα ρίχνει'.
Στίβεν Χόκινγκ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#215

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 01, 2020 1:25 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm
Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x} , είναι παράγουσα της : f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}

β) Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx . Σχολιάστε !
α) Απλό

β) Αλλάζω τη μορφή της παράγουσας και είναι: \displaystyle F(x) = \frac{{\tan \frac{x}{2} - 1}}{{\tan \frac{x}{2} + 1}} ή \displaystyle  - \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Μαρ 01, 2020 1:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#216

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Μαρ 01, 2020 1:28 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm
Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x} , είναι παράγουσα της : f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}

β) Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx . Σχολιάστε !
...Καλημέρα σε όλη τη παρέα και καλή Σαρακοστή...το παραπάνω έχει πολλά σχόλια...
...ξεκινάω με μια προσέγγιση για να ανοίξει η συζήτηση...

α) Εύκολα δείχνουμε ότι {F}'(x)={{\left( \tan x-\frac{1}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1-\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=

=\frac{1}{1+\sin x},\,\,x\ne -\frac{\pi }{2}+2\kappa \pi ,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}

β) Υπολογίζοντας τώρα το ολοκλήρωμα I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+\sin x}}dx,\,\,a<\frac{\pi }{2} είναι
I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+\sin x}}dx=F(a)-F(0)=F(a)+1

Τώρα \underset{a\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,F(\alpha )=\underset{a\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sin \alpha -1}{\cos \alpha })\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\cos \alpha }{-\sin \alpha })=0 επομένως
\int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{1}{1+\sin x}}dx=0+1=1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#217

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 01, 2020 2:02 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 01, 2020 12:09 pm
Άσκηση 75

α) Δείξτε ότι η : F(x)=\tan x-\dfrac{1}{\cos x} , είναι παράγουσα της : f(x)=\dfrac{1}{1+\sin x}

β) Υπολογίστε το : \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\sin x}dx . Σχολιάστε !
Αλλιώς το ολοκλήρωμα χωρίς τη χρήση της παράγουσας. Είναι:

\displaystyle \frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}}{{{{(1 + \tan \frac{x}{2})}^2}}}\mathop  = \limits^{\tan \frac{x}{2} = u} \frac{{1 + {u^2}}}{{{{(1 + u)}^2}}} και \displaystyle dx = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}du = \frac{2}{{1 + {u^2}}}

Το ολοκλήρωμα λοιπόν γράφεται τελικά: \displaystyle \int_0^1 {\frac{2}{{{{(1 + u)}^2}}}du}  = \left[ { - \frac{2}{{u + 1}}} \right]_0^1 = 1


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 371
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#218

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Μαρ 09, 2020 1:12 pm

Άσκηση 76

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#219

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Μαρ 09, 2020 2:40 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 1:12 pm
Άσκηση 76

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx
\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1-x+x}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{3}(1-x)}dx=

\displaystyle \int_{2}^{3}x^{-4}+\dfrac{1-x+x}{x^{3}(1-x)}dx=...
=\displaystyle \int_{2}^{3} x^{-4}+x^{-3}+x^{-2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x} dx=
\left [ \frac{x^{-3}}{-3}+\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{x^{-1}}{-1}+lnx-ln| 1-x| \right ]_{2}^{3}=...=ln3+\frac{8}{81}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12318
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#220

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 03, 2020 1:29 pm

Άσκηση 77

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^2 x -\sin x -1}{e^{\sin x} +\cos x} \,dx }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης