Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#81

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 10:34 pm

Ας την ονομάσουμε Άσκηση 26 (βλέπε το ποστ # 75)
KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : \displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#82

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 25, 2019 10:38 pm

Άσκηση 26
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 10:24 pm
KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 9:43 pm
Υπολογίστε το : \displaystyle \int \left ( \frac{1}{lnx} -\frac{1}{ln^2x}\right )dx

Πέρα από το παραπάνω μπορούμε να σπάσουμε το ολοκλήρωμα και στο δεύτερο να κάνουμε παράγοντες !
Τόλη, και στο πρώτο μπορούμε με κατά παράγάντες. Χάριν πληρότητας:

\displaystyle \int \frac{1}{\ln x}\,dx = \int x'\cdot \frac{1}{\ln x}\,dx  =   x\cdot \frac{1}{\ln x} + \int x\cdot \frac{1}{\ln ^2x}\cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x}{\ln x} + \int \frac{1}{\ln ^2x}\, dx

Άρα

\displaystyle \int \left ( \frac{1}{\ln x} -\frac{1}{\ln ^2x}\right )\, dx = \frac{x}{\ln x} +c


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#83

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 26, 2019 10:11 am

Άσκηση 27

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{ \displaystyle \int \sqrt {\dfrac {x}{x+1} }\,dx}

(Απλή αλλά χρειάζεται η σωστή αντικατάσταση. Λύνεται με διάφορους τρόπους.)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#84

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 26, 2019 10:12 am

Άσκηση 28

Βρείτε την απλούστερη* εκδοχή της f , αν : f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}

* Μηδενίστε τις σταθερές ολοκλήρωσης .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#85

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 26, 2019 10:22 am

Άσκηση 29

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int_0^1 {\frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}} dx


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#86

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 26, 2019 11:55 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:22 am
Άσκηση 29

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int_0^1 {\frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}} dx
\displaystyle \int_0^1 {\frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}} dx  =  \int_0^1 {\frac{ 2{x^2} - 4x + 3}{(x+1)(x-2)^2} dx

Προχωράμε με ανάλυση κλασμάτων. Μετά τις πράξεις "το μέσα" γράφεται \displaystyle{\dfrac {1}{9(x+1)}-\dfrac {1}{9(x-2)}+ \dfrac {1}{3(x-2)^2}}. Τώρα η ολοκλήρωση είναι άμεση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#87

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 26, 2019 12:10 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:12 am
Άσκηση 28

Βρείτε την απλούστερη* εκδοχή της f , αν : f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}

* Μηδενίστε τις σταθερές ολοκλήρωσης .
H αλλαγή μεταβλητής x=t^2 το φέρνει στο \displaystyle{\int {\dfrac {e^t(t-1)}{2t^2}\,dt = \int \left (\dfrac {e^t}{2t}\right )' \,dt = \dfrac {e^t}{2t}+c= \dfrac {e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} +c}

Τρώμε την σταθερά και με ακριβώς τον ίδιο τρόπο \displaystyle{\int {\dfrac {e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} \,dx = e^{\sqrt x}+c}, δηλαδή f(x)=e^{\sqrt x}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#88

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 26, 2019 12:56 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:12 am
Άσκηση 28

Βρείτε την απλούστερη* εκδοχή της f , αν : f''(x)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}

* Μηδενίστε τις σταθερές ολοκλήρωσης .
Λίγο διαφορετικά από του Μιχάλη, χωρίς αλλαγή μεταβλητής και το σύμβολο της ολοκλήρωσης (στην ουσία δεν αλλάζει).

\displaystyle f''(x) = \frac{{{e^{\sqrt x }}\sqrt x  - {e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x {{(2\sqrt x )}^2}}} = \frac{{{e^{\sqrt x }} - \frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}}}{{{{(2\sqrt x )}^2}}} = \frac{{({e^{\sqrt x }})'(2\sqrt x)  - {e^x}(2\sqrt x )'}}{{{{(2\sqrt x )}^2}}} = {\left( {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{2\sqrt x }}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{\sqrt x }}} \right)^{\prime \prime }}

Άρα, \boxed{f(x) = {e^{\sqrt x }}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#89

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 26, 2019 7:07 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:11 am
Άσκηση 27

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{ \displaystyle \int \sqrt {\dfrac {x}{x+1} }\,dx}

(Απλή αλλά χρειάζεται η σωστή αντικατάσταση. Λύνεται με διάφορους τρόπους.)
Θέτω \displaystyle u = x + 1 και το ολοκλήρωμα γράφεται:

\displaystyle \int {\sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} } du = {\int {\sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} (u)'du = \sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} u - \int {u\left( {\sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} } \right)} } ^\prime }du =

\displaystyle \sqrt {\frac{{u - 1}}{u}} u - \int {\frac{{du}}{{2\sqrt {u(u - 1)} }}}  = ... = \sqrt {u(u - 1)}  - \ln \left( {\sqrt {|u|}  + \sqrt {|u - 1|} } \right) + c, κλπ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#90

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 26, 2019 9:17 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 7:07 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:11 am
Άσκηση 27

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{ \displaystyle \int \sqrt {\dfrac {x}{x+1} }\,dx}

(Απλή αλλά χρειάζεται η σωστή αντικατάσταση. Λύνεται με διάφορους τρόπους.)
Θέτω \displaystyle u = x + 1 και το ολοκλήρωμα γράφεται:
...
Ωραιότατα.

Επειδή ανέφερα ότι λύνεται με διάφορους τρόπους, ας δούμε άλλον ένα.

Θέτουμε \displaystyle{\sqrt { \dfrac {x}{x+1}} =t}, οπότε x= \dfrac {t^2}{1-t^2} και το ολοκλήρωμα γίνεται \displaystyle{\int  \dfrac {2t^2}{(1-t^2)^2}\,dt}. Μπορούμε να συνεχίσουμε με κατά παράγοντες γράφοντας

\displaystyle{\int  \dfrac {2t^2}{(1-t^2)^2}\,dt =\int  t \dfrac {2t}{(1-t^2)^2}\,dt  = \int  t \left (\dfrac {1}{1-t^2}\right ) ' \,dt =   \dfrac {t}{1-t^2} - \int \dfrac {1}{1-t^2} \,dt}

και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#91

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 26, 2019 9:53 pm

Άσκηση 30

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle \int cos ^2 \sqrt x \,dx}

(Είναι απλό αλλά θέλει και κάποια μικρή γνώση βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων).

Κάτι ακόμα: Βλέπω ότι το θρεντ αυτό κοντεύει τις 2020 προβολές σε μικρό χρόνο από την γέννησή του. Καλό σημάδι! Το :santalogo: είναι ζωντανό.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#92

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 27, 2019 8:48 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 26, 2019 9:53 pm
Άσκηση 30

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle \int cos ^2 \sqrt x \,dx}

(Είναι απλό αλλά θέλει και κάποια μικρή γνώση βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων).

Κάτι ακόμα: Βλέπω ότι το θρεντ αυτό κοντεύει τις 2020 προβολές σε μικρό χρόνο από την γέννησή του. Καλό σημάδι! Το :santalogo: είναι ζωντανό.
Χρησιμοποιώ τον μετασχηματισμό \displaystyle x = {u^2} \Rightarrow dx = 2udu και το ολοκλήρωμα γράφεται:

\displaystyle \int {2u{{\cos }^2}udu = \int {u\left( {1 + \cos 2u} \right)} } du = \frac{{{u^2}}}{2} + \int {u{{\left( {\frac{{\sin 2u}}{2}} \right)}^\prime }du = }

\displaystyle \frac{{{u^2}}}{2} + \frac{{u\sin 2u}}{2} - \int {\frac{{\sin 2u}}{2}} du = \frac{{{u^2}}}{2} + \frac{{u\sin 2u}}{2} + \frac{{\cos 2u}}{4} + c, κλπ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9188
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#93

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 27, 2019 11:32 am

Άσκηση 31

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{({x^2} + 2)}^5}} }}}

Χρειάζεται κατάλληλη αντικατάσταση.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2230
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#94

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Δεκ 27, 2019 6:55 pm

\displaystyle{x/\sqrt{2}=tany} τοτε \displaystyle{I=\frac{1}{2^{5/2}} \int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(1+tan^2y)^5}}(1+tan^2y)dy}
αρα
\displaystyle{I=\frac{1}{\sqrt{8}}\int\frac{1}{\sqrt{(1+tan^2y)^3}}dy=\frac{1}{\sqrt{8}}\int cos^3ydy}
ωστε
\displaystyle{I=\frac{1}{\sqrt{8}}\int(1-sin^2y)d(siny)=\frac{1}{\sqrt{8}}(u-u^3/3)+c ,u=siny=\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#95

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm

Άσκηση 32

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 321
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#96

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Δεκ 27, 2019 9:56 pm

Αρκει να παρατηρησει κανεις οτι

\displaystyle (log(1+\sqrt{x}))'=\frac{1}{2(x+\sqrt{x})}

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm
Άσκηση 32

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#97

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 27, 2019 10:10 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm
Άσκηση 32

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx
Με 1+\sqrt x =y γίνεται \displaystyle \int 2(y-1) \ln y \, dy που είναι άμεσο με κατά παράγοντες. Τελική απάντηση \ln ^2(1+\sqrt x)+c.

Edit: Διόρθωσα την τυπογραφική αβλεψία που επισημαίνει ο mick7 αμέσως από κάτω. Τον ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Δεκ 27, 2019 10:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 321
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#98

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Δεκ 27, 2019 10:14 pm

Είναι \displaystyle ln^2(1+\sqrt{x})+c
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 10:10 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 9:45 pm
Άσκηση 32

Υπολογίστε το : \displaystyle \int \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}dx
Με 1+\sqrt x =y γίνεται \displaystyle \int 2(y-1) \ln y \, dy που είναι άμεσο με κατά παράγοντες. Τελική απάντηση 2\ln (1+\sqrt x)+c.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#99

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 27, 2019 11:26 pm

Άσκηση 33

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}

(Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11538
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#100

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 28, 2019 8:19 am

Άσκηση 34
Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο k , για τον οποίον : \displaystyle\int_{0}^{k}\frac{\sqrt{x}}{e^{\sqrt{x}}}dx>3


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης