Σελίδα 1 από 14

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 8:03 am
από Mihalis_Lambrou
Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις στα ολοκληρώματα, κατάλληλα για καλούς μαθητές Γ Λυκείου.

Η ιδέα είναι τα ολοκληρώματα να μην είναι ρουτίνας αλλά να μην φτάνουμε στο άλλο άκρο των
ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε διαγωνισμούς για φοιτητές.

Πρέπει να είναι προσιτά με γνώσεις Λυκείου, τουλάχιστον όπως ήταν η ύλη λίγα χρόνια νωρίτερα πριν
καταργηθούν όσα καταργήθηκαν (τα οποία έπαψα να παρακολουθώ στις λεπτομέρειες γιατί δεν βγάζω άκρη. Και δεν τα κατανοώ.)

Απαγορεύονται ασκήσεις που απαιτούν συναρτήσεις \Gamma, δυναμοσειρές και λοιπά.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 8:08 am
από Mihalis_Lambrou
Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac {x^n}{e^x+1+x+\dfrac {x^2}{2!} +...+ \dfrac {x^n}{n!} }\, dx}

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 9:03 am
από R BORIS
Αν \displaystyle{f(x)=e^x+1+x+x^2/2!+...+x^n/n!\Rightarrow f(x)-f'(x)=x^n/n!}
Tότε
Αν \displaystyle{I} το ζητούμενο ολοκλήρωμα
\displaystyle{I=n!\int\frac{f(x)-f'(x)}{f(x)}dx=n!x-n!lnf(x)+n!c,x>0}
(πρόσθεσα το χ>0 εφ όσον πρόκειται για μαθητές)

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 11:38 am
από Mihalis_Lambrou
Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac {x^n-n!e^x}{xe^x+1+x+\dfrac {x^2}{2!} +...+ \dfrac {x^n}{n!} }\, dx} όπου x>0.

Είναι στο ίδιο μήκος κύματος με την προηγούμενη, αλλά λίγο δυσκολότερη.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 5:36 pm
από R BORIS
\displaystyle{f(x)=xe^x+1+x+x^2/2!+...+x^n/n!} τότε \displaystyle{f'(x)=e^x+xe^x+1+x+...+x^{n-1}/(n-1)!=e^x+f(x)-x^n/n!}
αρα \displaystyle{ I=1/n!\int \frac{f(x)-f'(x)}{f(x)}dx=x/n!-lnf(x)/n!+c/n!}

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
από R BORIS
ακομη μια
Να δείξετε ότι
\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 6:57 pm
από Mihalis_Lambrou
R BORIS έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
ακομη μια
Να δείξετε ότι
\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}
Με ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

\displaystyle{ I_n= \int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt} = \left [ -e^{-t}t^n \right ]_0^x+n\int_{0}^{x}{e^{-t}t^{n-1}dt = -e^{-x}x^n+ nI_{n-1}}

Μετά είναι απλό με χρήση της αναδρομής.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 7:24 pm
από Mihalis_Lambrou
Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{x(1+x^a)} }}, όπου a>1 και x>0

Είναι σχετικά απλή.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 7:44 pm
από mick7
\displaystyle \int \frac{x^a+1-x^a}{x(1+x^a)}dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x^{a-1}}{1+x^a})dx=logx-\frac{log(1+x^a)}{a}+c

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 7:24 pm
Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{x(1+x^a)} }}, όπου a>1 και x>0

Είναι σχετικά απλή.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 10:11 pm
από Mihalis_Lambrou
Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {\sin x + \cos x}{e^{-x} + \sin x} \, dx}

Είναι αρκετά απλή. Μια δυο γραμμές.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 10:23 pm
από mick7
\displaystyle \int \frac{(e^xsinx+1)'}{1+e^xsinx}dx=log(1+e^xsinx)+c


Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:11 pm
Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {\sin x + \cos x}{e^{-x} + \sin x} \, dx}

Είναι αρκετά απλή. Μια δυο γραμμές.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 15, 2019 10:49 pm
από Mihalis_Lambrou
Άσκηση 6

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}

Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 1:09 am
από nikos_el
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:49 pm
Άσκηση 6

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}

Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει.
\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\right)'-\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx= \displaystyle =\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|-\int \dfrac{\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx

\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\right)+\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=x+\int \dfrac{\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx

Προσθέτοντας κατά μέλη: \displaystyle 2\mathcal{I}=x+\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c\Leftrightarrow \int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x}\, dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 5:32 pm
από R BORIS
R BORIS έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
ακομη μια
Να δείξετε ότι
\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}
θέλουμε \displaystyle{F(x)=G(x)}
είναι πολυ εύκολο να δείξουμε \displaystyle{F'(x)=G'(x),F(0)=G(0)}
που αποδεικνύει το ζητούμενο

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 6:13 pm
από Mihalis_Lambrou
nikos_el έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:09 am
Προσθέτοντας κατά μέλη: \displaystyle 2\mathcal{I}=x+\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c\Leftrightarrow \int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x}\, dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c
Για χάρη των μαθητών ας δούμε το παραπάνω σε ένα γενικότερο πλαίσιο που δικαιολογεί "πώς σκεφτήκαμε". Πρόκειται για μία ωραία τεχνική που εφαρμόζεται σε αρκετές περιπτώσεις και καλό είναι να την έχει υπόψη του κανείς.

Όταν έχουμε ολοκληρώματα της μορφής \displaystyle{\int \dfrac {f(x)}{g(x)}\,dx} , δοκιμάζουμε αν ο αριθμητής γράφεται στην μορφή

\displaystyle{f(x)=Ag(x)+Bg'(x)} για σταθερές A,B.

Εδώ

\displaystyle{e^x- \cos x = A(e^x- \cos x - \sin x) +B(e^x+  \sin x - \cos x} = }
\displaystyle{\,=(A+B) e^x -(A+B) \cos x +(B-A) \sin x}.

Συγκρίνοντας συντελεστές έχουμε \displaystyle{A+B=1, \,  B-A=0} , οπότε A=B=1/2. Με άλλα λόγια

\displaystyle{ \displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx = \int \dfrac { \frac {1}{2} (e^x- \cos x - \sin x) +\frac {1}{2}(e^x+  \sin x - \cos x)    }{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}} =}

\displaystyle{ = \int \dfrac { \frac {1}{2} g(x)  +\frac {1}{2}g'(x) } {g(x)} \, dx}

που δίνει αμέσως την παραπάνω απάντηση.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 6:55 pm
από Mihalis_Lambrou
Άσκηση 7

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-1}^1 x^{2n+1} \ln (1+e^x) \, dx}}, όπου n φυσικός.

Αρκετά απλή.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
από Tolaso J Kos
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 6:55 pm
Άσκηση 7

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-1}^1 x^{2n+1} \ln (1+e^x) \, dx}}, όπου n φυσικός.

Αρκετά απλή.
Έστω \mathcal{J} το ολοκλήρωμα. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J}& =\int_{-1}^{1} x^{2n+1}\ln \left ( e^x+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ 
 &\!\!\!\!\overset{u=-x}{=\! =\! =\!} -\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( \frac{1}{e^x}+1 \right ) \,\mathrm{d}x \\  
 &= -\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( \frac{e^x+1}{e^x} \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \left ( \ln \left ( e^x+1 \right )-\ln e^x \right ) \, \mathrm{d}x  \\  
 &= - \int_{-1}^{1} x^{2n+1}  \ln \left ( e^x+1 \right ) + \int_{-1}^{1} x^{2n+2} \, \mathrm{d}x\\ 
 &= -\mathcal{J} + \frac{2}{2n+3}  
\end{aligned}} Οπότε

\displaystyle{2\mathcal{J}=\frac{2}{2n+3}\Leftrightarrow \boxed{\mathbf{\mathcal{J} = \frac{1}{2n+3}}}}
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση u=\alpha +\beta-x και δε ξέρω το γιατί;

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 8:16 pm
από Mihalis_Lambrou
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση u=\alpha +\beta-x και δε ξέρω το γιατί;
Ας δούμε λοιπόν και άλλη μία με αυτό το τέχνασμα.

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {x}{\sin x}\, dx}}.

Αρκετά απλή.

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 8:42 pm
από Tolaso J Kos
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 8:16 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση u=\alpha +\beta-x και δε ξέρω το γιατί;
Ας δούμε λοιπόν και άλλη μία με αυτό το τέχνασμα.

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {x}{\sin x}\, dx}}.

Αρκετά απλή.

Έστω \mathcal{J} το ολοκλήρωμα. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{x}{\sin x} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=\pi/3+2\pi/3-x}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!} \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\pi-x}{\sin \left ( \pi-x \right )}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\pi-x}{\sin x}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\pi \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} -\mathcal{J} \\  
 &= \pi \ln 3 - \mathcal{J}\\ 
 &\implies \boxed{\mathbf{\mathcal{J} = \frac{\pi \ln 3}{2}}} 
\end{aligned}}

διότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} &= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sin x}{\sin^2 x}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\cos x}{=\!=\!=\!=\!=\!} \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d}u}{1-u^2}  \\  
 &=\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2}\left ( \frac{1}{u+1}-\frac{1}{u-1} \right ) \, \mathrm{d}u \\  
 &= \frac{1}{2} \left [ \ln \left | u+1 \right | - \ln \left | u-1 \right | \right ]_{-1/2}^{1/2}\\ 
 &=\frac{\ln 9}{2}\\ 
 &= \ln \sqrt{9}\\ 
 &= \ln 3 
\end{aligned}}

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 16, 2019 8:52 pm
από Mihalis_Lambrou
Συμπλήρωμα της προηγούμενης:

Άσκηση 8β

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {\{x\}}{\sin x}\, dx}}.

Εδώ \{x\} είναι το κλασματικό μέρος του x. Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε αυτά που βρήκε ο Τόλης στο αμέσως προηγούμενο ποστ.