Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 8:03 am

Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις στα ολοκληρώματα, κατάλληλα για καλούς μαθητές Γ Λυκείου.

Η ιδέα είναι τα ολοκληρώματα να μην είναι ρουτίνας αλλά να μην φτάνουμε στο άλλο άκρο των
ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε διαγωνισμούς για φοιτητές.

Πρέπει να είναι προσιτά με γνώσεις Λυκείου, τουλάχιστον όπως ήταν η ύλη λίγα χρόνια νωρίτερα πριν
καταργηθούν όσα καταργήθηκαν (τα οποία έπαψα να παρακολουθώ στις λεπτομέρειες γιατί δεν βγάζω άκρη. Και δεν τα κατανοώ.)

Απαγορεύονται ασκήσεις που απαιτούν συναρτήσεις \Gamma, δυναμοσειρές και λοιπά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 8:08 am

Άσκηση 1

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac {x^n}{e^x+1+x+\dfrac {x^2}{2!} +...+ \dfrac {x^n}{n!} }\, dx}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2227
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Δεκ 15, 2019 9:03 am

Αν \displaystyle{f(x)=e^x+1+x+x^2/2!+...+x^n/n!\Rightarrow f(x)-f'(x)=x^n/n!}
Tότε
Αν \displaystyle{I} το ζητούμενο ολοκλήρωμα
\displaystyle{I=n!\int\frac{f(x)-f'(x)}{f(x)}dx=n!x-n!lnf(x)+n!c,x>0}
(πρόσθεσα το χ>0 εφ όσον πρόκειται για μαθητές)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 11:38 am

Άσκηση 2

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac {x^n-n!e^x}{xe^x+1+x+\dfrac {x^2}{2!} +...+ \dfrac {x^n}{n!} }\, dx} όπου x>0.

Είναι στο ίδιο μήκος κύματος με την προηγούμενη, αλλά λίγο δυσκολότερη.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2227
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Δεκ 15, 2019 5:36 pm

\displaystyle{f(x)=xe^x+1+x+x^2/2!+...+x^n/n!} τότε \displaystyle{f'(x)=e^x+xe^x+1+x+...+x^{n-1}/(n-1)!=e^x+f(x)-x^n/n!}
αρα \displaystyle{ I=1/n!\int \frac{f(x)-f'(x)}{f(x)}dx=x/n!-lnf(x)/n!+c/n!}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2227
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm

ακομη μια
Να δείξετε ότι
\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 6:57 pm

R BORIS έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
ακομη μια
Να δείξετε ότι
\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}
Με ολοκλήρωση κατά μέρη έχουμε

\displaystyle{ I_n= \int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt} = \left [ -e^{-t}t^n \right ]_0^x+n\int_{0}^{x}{e^{-t}t^{n-1}dt = -e^{-x}x^n+ nI_{n-1}}

Μετά είναι απλό με χρήση της αναδρομής.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 7:24 pm

Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{x(1+x^a)} }}, όπου a>1 και x>0

Είναι σχετικά απλή.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Δεκ 15, 2019 7:44 pm

\displaystyle \int \frac{x^a+1-x^a}{x(1+x^a)}dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x^{a-1}}{1+x^a})dx=logx-\frac{log(1+x^a)}{a}+c

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 7:24 pm
Άσκηση 4

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{x(1+x^a)} }}, όπου a>1 και x>0

Είναι σχετικά απλή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:11 pm

Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {\sin x + \cos x}{e^{-x} + \sin x} \, dx}

Είναι αρκετά απλή. Μια δυο γραμμές.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:23 pm

\displaystyle \int \frac{(e^xsinx+1)'}{1+e^xsinx}dx=log(1+e^xsinx)+c


Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:11 pm
Άσκηση 5

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {\sin x + \cos x}{e^{-x} + \sin x} \, dx}

Είναι αρκετά απλή. Μια δυο γραμμές.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 15, 2019 10:49 pm

Άσκηση 6

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}

Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει.


Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Δευ Δεκ 16, 2019 1:09 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 10:49 pm
Άσκηση 6

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}

Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει.
\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\right)'-\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx= \displaystyle =\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|-\int \dfrac{\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx

\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\right)+\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=x+\int \dfrac{\sin x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx

Προσθέτοντας κατά μέλη: \displaystyle 2\mathcal{I}=x+\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c\Leftrightarrow \int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x}\, dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c


The road to success is always under construction
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2227
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Δεκ 16, 2019 5:32 pm

R BORIS έγραψε:
Κυρ Δεκ 15, 2019 6:04 pm
ακομη μια
Να δείξετε ότι
\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^{-t}t^ndt}=n!e^{-x}(e^x-1-x-x^2/2!-...-x^n/n!)}
θέλουμε \displaystyle{F(x)=G(x)}
είναι πολυ εύκολο να δείξουμε \displaystyle{F'(x)=G'(x),F(0)=G(0)}
που αποδεικνύει το ζητούμενο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 6:13 pm

nikos_el έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:09 am
Προσθέτοντας κατά μέλη: \displaystyle 2\mathcal{I}=x+\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c\Leftrightarrow \int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x}\, dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\ln\left|e^x-\cos x-\sin x\right|+c
Για χάρη των μαθητών ας δούμε το παραπάνω σε ένα γενικότερο πλαίσιο που δικαιολογεί "πώς σκεφτήκαμε". Πρόκειται για μία ωραία τεχνική που εφαρμόζεται σε αρκετές περιπτώσεις και καλό είναι να την έχει υπόψη του κανείς.

Όταν έχουμε ολοκληρώματα της μορφής \displaystyle{\int \dfrac {f(x)}{g(x)}\,dx} , δοκιμάζουμε αν ο αριθμητής γράφεται στην μορφή

\displaystyle{f(x)=Ag(x)+Bg'(x)} για σταθερές A,B.

Εδώ

\displaystyle{e^x- \cos x = A(e^x- \cos x - \sin x) +B(e^x+  \sin x - \cos x} = }
\displaystyle{\,=(A+B) e^x -(A+B) \cos x +(B-A) \sin x}.

Συγκρίνοντας συντελεστές έχουμε \displaystyle{A+B=1, \,  B-A=0} , οπότε A=B=1/2. Με άλλα λόγια

\displaystyle{ \displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx = \int \dfrac { \frac {1}{2} (e^x- \cos x - \sin x) +\frac {1}{2}(e^x+  \sin x - \cos x)    }{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}} =}

\displaystyle{ = \int \dfrac { \frac {1}{2} g(x)  +\frac {1}{2}g'(x) } {g(x)} \, dx}

που δίνει αμέσως την παραπάνω απάντηση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 6:55 pm

Άσκηση 7

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-1}^1 x^{2n+1} \ln (1+e^x) \, dx}}, όπου n φυσικός.

Αρκετά απλή.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 6:55 pm
Άσκηση 7

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{-1}^1 x^{2n+1} \ln (1+e^x) \, dx}}, όπου n φυσικός.

Αρκετά απλή.
Έστω \mathcal{J} το ολοκλήρωμα. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J}& =\int_{-1}^{1} x^{2n+1}\ln \left ( e^x+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\ 
 &\!\!\!\!\overset{u=-x}{=\! =\! =\!} -\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( \frac{1}{e^x}+1 \right ) \,\mathrm{d}x \\  
 &= -\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \ln \left ( \frac{e^x+1}{e^x} \right ) \, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{-1}^{1} x^{2n+1} \left ( \ln \left ( e^x+1 \right )-\ln e^x \right ) \, \mathrm{d}x  \\  
 &= - \int_{-1}^{1} x^{2n+1}  \ln \left ( e^x+1 \right ) + \int_{-1}^{1} x^{2n+2} \, \mathrm{d}x\\ 
 &= -\mathcal{J} + \frac{2}{2n+3}  
\end{aligned}} Οπότε

\displaystyle{2\mathcal{J}=\frac{2}{2n+3}\Leftrightarrow \boxed{\mathbf{\mathcal{J} = \frac{1}{2n+3}}}}
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση u=\alpha +\beta-x και δε ξέρω το γιατί;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 8:16 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση u=\alpha +\beta-x και δε ξέρω το γιατί;
Ας δούμε λοιπόν και άλλη μία με αυτό το τέχνασμα.

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {x}{\sin x}\, dx}}.

Αρκετά απλή.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 16, 2019 8:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 8:16 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 7:19 pm
Σημείωση: Έχω πλέον την εντύπωση ότι οι μαθητές σνομπάρουν την αντικατάσταση u=\alpha +\beta-x και δε ξέρω το γιατί;
Ας δούμε λοιπόν και άλλη μία με αυτό το τέχνασμα.

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {x}{\sin x}\, dx}}.

Αρκετά απλή.

Έστω \mathcal{J} το ολοκλήρωμα. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{x}{\sin x} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=\pi/3+2\pi/3-x}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!} \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\pi-x}{\sin \left ( \pi-x \right )}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\pi-x}{\sin x}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\pi \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} -\mathcal{J} \\  
 &= \pi \ln 3 - \mathcal{J}\\ 
 &\implies \boxed{\mathbf{\mathcal{J} = \frac{\pi \ln 3}{2}}} 
\end{aligned}}

διότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} &= \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sin x}{\sin^2 x}\, \mathrm{d}x \\  
 &=\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\cos x}{=\!=\!=\!=\!=\!} \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d}u}{1-u^2}  \\  
 &=\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2}\left ( \frac{1}{u+1}-\frac{1}{u-1} \right ) \, \mathrm{d}u \\  
 &= \frac{1}{2} \left [ \ln \left | u+1 \right | - \ln \left | u-1 \right | \right ]_{-1/2}^{1/2}\\ 
 &=\frac{\ln 9}{2}\\ 
 &= \ln \sqrt{9}\\ 
 &= \ln 3 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 8:52 pm

Συμπλήρωμα της προηγούμενης:

Άσκηση 8β

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\pi / 3}^{2\pi /3 } \dfrac {\{x\}}{\sin x}\, dx}}.

Εδώ \{x\} είναι το κλασματικό μέρος του x. Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε αυτά που βρήκε ο Τόλης στο αμέσως προηγούμενο ποστ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης