Κυρτότητα και χορδή
Συντονιστής: R BORIS
Κυρτότητα και χορδή
του τραπεζίου . Ισχυριζόμαστε λοιπόν ότι η , βρίσκεται κάτω από την χορδή , με την ισότητα
να ισχύει μόνο στα άκρα κ.λ.π. Αυτό - αν και προφανές - δεν αναφέρεται πουθενά στο σχολικό βιβλίο ,
αντίθετα με πολλά βοηθήματα που το αναφέρουν . Ας δώσουμε λοιπόν κάποια απόδειξη του λήμματος .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κυρτότητα και χορδή
Ή χορδή έχει εξίσωση
Θα δείξουμε ότι:
για κάθε
Για Ή ισχύει ως ισότητα
Ή είναι κυρτή άρα γνησιως αύξουσα στο
ΘΜΤ στο και στο
τέτοιο ώστε
τέτοιο ώστε
Άρα για κάθε
Αν έχω κάποιο λάθος διορθώστε με
Θα δείξουμε ότι:
για κάθε
Για Ή ισχύει ως ισότητα
Ή είναι κυρτή άρα γνησιως αύξουσα στο
ΘΜΤ στο και στο
τέτοιο ώστε
τέτοιο ώστε
Άρα για κάθε
Αν έχω κάποιο λάθος διορθώστε με
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Κυρτότητα και χορδή
Το θέμα δεν έχει σχέση με Ολοκληρωτικό Λογισμό αλλά με Διαφορικό.
Το ότι χρησιμοποιείται και για Ολοκληρώματα δεν σημαίνει οτι έχει θέση εκεί.
Ο κανονικός ορισμός της κυρτής είναι
Η
είναι κυρτή αν για
και
ισχύει
Γνήσια κυρτή είναι αν .
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα τότε
η είναι γνήσια κυρτή.
Απόδειξη
Εστω και
Θεωρούμε την
Είναι και
Για είναι και αφού η είναι γνησίως αύξουσα
προκύπτει ότι για είναι .
Αρα η είναι γνησίως φθίνουσα όποτε είναι
που είναι η ζητούμενη.
Το ότι χρησιμοποιείται και για Ολοκληρώματα δεν σημαίνει οτι έχει θέση εκεί.
Ο κανονικός ορισμός της κυρτής είναι
Η
είναι κυρτή αν για
και
ισχύει
Γνήσια κυρτή είναι αν .
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα τότε
η είναι γνήσια κυρτή.
Απόδειξη
Εστω και
Θεωρούμε την
Είναι και
Για είναι και αφού η είναι γνησίως αύξουσα
προκύπτει ότι για είναι .
Αρα η είναι γνησίως φθίνουσα όποτε είναι
που είναι η ζητούμενη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες