Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Συντονιστής: R BORIS

TheloMpoithia
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 22, 2020 1:20 am

Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TheloMpoithia » Κυρ Μαρ 22, 2020 2:02 am

Καλησπέρα σας! Έχω μια απορία σχετικά με το κάτωθι ολοκλήρωμα:
Εικόνα
Πώς στο καλό βγήκε έτσι;
Εικόνα
Προσωπικά, εγώ θα έγραφα το αποτέλεσμα ως εξής: ln(|x^2+3|)
Με αντικατάσταση (u=x^2+3) δεν μου βγαίνει.
Σύμφωνα με ένα online εργαλείο επίλυσης πρέπει να το κάνω έτσι:
Εικόνα
Γιατί όμως; Από πού κι ως πού u=x/ρίζα του 3



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 22, 2020 11:38 am

Γνωρίζεις ότι \displaystyle{\left( \arctan  x \right)' = \frac{1}{x^2+1}} οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+3} &= \int \frac{1}{3\left (\left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^2+1  \right )} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=x/\sqrt{3}}{=\! =\! =\! =\!} \int \frac{\sqrt{3}}{3 \left (u^2+1  \right )} \, \mathrm{d}x  \\  
 &= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan u \\ 
 &= \frac{\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} + c \; , \; c \in \mathbb{R} 
\end{aligned}}
Αυτά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 22, 2020 12:19 pm

TheloMpoithia έγραψε:
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:02 am
Με αντικατάσταση (u=x^2+3) δεν μου βγαίνει.
Η σωστή αντικατάσταση είναι x=\sqrt 3 \tan u. Θα χρειαστείς τα \tan ^2 u+1 = \dfrac {1}{cos ^2 u} και  (\tan u)'=  \tan ^2 u+1.

Αν ακολουθείς την ύλη των Μαθηματικών του Ελληνικού Αναλυτικού προγράμματος, αυτά είναι εκτός ύλης. Αν παρακολουθείς IB ή GCE, είναι εντός. Στην δεύτερη περίπτωση, όλα τα σχετικά σίγουρα υπάρχουν στο βιβλίο του μαθήματος. Το κοίταξες;


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Μαρ 22, 2020 1:06 pm

Έχεις δοκιμάσει να λύσεις το πιο απλό ολοκλήρωμα:

\displaystyle{I=\int\frac{1}{x^2+1}dx}

πρώτα; Δοκίμασε εδώ να εφαρμόσεις την αντικατάσταση x=\tan u.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
TheloMpoithia
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 22, 2020 1:20 am

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TheloMpoithia » Δευ Μαρ 23, 2020 11:07 am

Σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ! Προσωπικά, μου φάνηκε λίγο tricky.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες