Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

TheloMpoithia · #1

Καλησπέρα σας! Έχω μια απορία σχετικά με το κάτωθι ολοκλήρωμα:
Εικόνα

Πώς στο καλό βγήκε έτσι;
Εικόνα

Προσωπικά, εγώ θα έγραφα το αποτέλεσμα ως εξής: ln(|x^2+3|)
Με αντικατάσταση (u=x^2+3) δεν μου βγαίνει.
Σύμφωνα με ένα online εργαλείο επίλυσης πρέπει να το κάνω έτσι:
Εικόνα

Γιατί όμως; Από πού κι ως πού u=x/ρίζα του 3

Tolaso J Kos · #2

Γνωρίζεις ότι $\displaystyle{\left( \arctan x \right)' = \frac{1}{x^2+1}}$ οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+3} &= \int \frac{1}{3\left (\left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^2+1 \right )} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=x/\sqrt{3}}{=\! =\! =\! =\!} \int \frac{\sqrt{3}}{3 \left (u^2+1 \right )} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan u \\ &= \frac{\arctan \frac{x}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$
Αυτά.

#3

TheloMpoithia έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:02 am
Με αντικατάσταση (u=x^2+3) δεν μου βγαίνει.

Η σωστή αντικατάσταση είναι $x=\sqrt 3 \tan u$ . Θα χρειαστείς τα $\tan ^2 u+1 = \dfrac {1}{cos ^2 u}$ και $(\tan u)'= \tan ^2 u+1$ .

Αν ακολουθείς την ύλη των Μαθηματικών του Ελληνικού Αναλυτικού προγράμματος, αυτά είναι εκτός ύλης. Αν παρακολουθείς IB ή GCE, είναι εντός. Στην δεύτερη περίπτωση, όλα τα σχετικά σίγουρα υπάρχουν στο βιβλίο του μαθήματος. Το κοίταξες;

Μάρκος Βασίλης · #4

Έχεις δοκιμάσει να λύσεις το πιο απλό ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{I=\int\frac{1}{x^2+1}dx}$

πρώτα; Δοκίμασε εδώ να εφαρμόσεις την αντικατάσταση $x=\tan u$ .

TheloMpoithia · #5

Σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ! Προσωπικά, μου φάνηκε λίγο tricky.

Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Re: Γιατί έτσι αυτό το ολοκλήρωμα;

Μέλη σε σύνδεση