Δύο παραβολές 2

KARKAR · #1

: Δύο παραβολές 2.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του χωρίου που μπορούν να σχηματίσουν οι δύο παραβολές του σχήματος .

#2

Tolaso J Kos · #3

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow \left ( x + a \right )^2 -2a = 2a-\left ( x -a \right )^2 \\ &\Leftrightarrow \left ( x+a \right )^2 + \left ( x - a \right )^2 = 4a \\ &\Leftrightarrow \cdots \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & - \sqrt{2a-a^2} \\ x &= & \sqrt{2a-a^2} \end{matrix}\right. \end{aligned}}$

Τότε το εμβαδόν που περικλείεται των δύο παραβολών είναι ίσο με

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{E} \left ( \Omega \right ) &= \int_{-\sqrt{2a-a^2}}^{\sqrt{2a-a^2}} \left | \left ( x+a \right )^2 - 2a -2a + \left ( x-a \right )^2 \right | \, \mathrm{d}x \\ &=\int_{-\sqrt{2a-a^2}}^{\sqrt{2a-a^2}} \left | \left ( x+a \right )^2 + \left ( x-a \right )^2 - 4a \right |\, \mathrm{d}x \\ &=\int_{-\sqrt{2a-a^2}}^{\sqrt{2a-a^2}} \left ( 4a - \left ( x+a \right )^2 - \left ( x-a \right )^2 \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\sqrt{2a-a^2}}^{\sqrt{2a-a^2}} \left ( 4a - 2a^2 - 2x^2 \right )\, \mathrm{d}x\\ &= \frac{8\sqrt{\left ( 2a-a^2 \right )^3}}{3} \end{aligned}}$
Η μελέτη της συνάρτησης $f(x) = \frac{8\sqrt{\left ( 2a-a^2 \right )^3}}{3}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα μας επιβεβαιώνει το

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 31, 2021 10:10 pm

$a \in \left( {0,2} \right)$ . Για έχω μέγιστο εμβαδόν , $\dfrac{8}{3}$

Λογικά υπάρχουν περιορισμοί για το , σωστά;

Christos.N · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 31, 2021 11:07 pm

Λογικά υπάρχουν περιορισμοί για το , σωστά;

σαφέστατα

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 31, 2021 11:07 pm
$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow \left ( x + a \right )^2 -2a = 2a-\left ( x -a \right )^2 \\ &\Leftrightarrow \left ( x+a \right )^2 + \left ( x - a \right )^2 = 4a \\ \end{aligned}}$

και βρίσκονται ακριβώς από πάνω.

Δύο παραβολές 2

Δύο παραβολές 2

Re: Δύο παραβολές 2

Re: Δύο παραβολές 2

Re: Δύο παραβολές 2

Μέλη σε σύνδεση