Περιοδικότητα και ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

περιοδική συνάρτηση με περίοδο $\mathrm{T} \neq 0$ . Αν $\kappa, \nu, \mu$ πραγματικές σταθερές τότε να δειχθεί ότι:

(α) $\displaystyle{\int_{0}^{\kappa \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x = \kappa \int_0^{\mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x }$

(β) $\displaystyle{ \int_{\alpha + \mu \mathrm{T}}^{\beta + \nu \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, \mathrm{d}x + \left ( \nu - \mu \right ) \int_{0}^{\mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 03, 2021 11:52 am
Αν $\kappa, \nu, \mu$ πραγματικές σταθερές τότε να δειχθεί ότι:

Όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση, δεν είναι σωστή. Για παράδειγμα για την περιoδική $\sin x$ , όπου $T=2\pi$ θα έδινε για k=1/2

ότι

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \sin (x) \, \mathrm{d}x = \frac {1}{2} \int_0^{2\pi} \sin (x) \, \mathrm{d}x }$

ή αλλιώς 2=0

.

Πρέπει να διορθώσουμε την προφανή τυπογραφική αβλεψία και να θέσουμε $\kappa, \nu, \mu$ ακέραιοι. Αλλά τότε η άσκηση είναι απλή και γνωστή. Π.χ. το α) είναι άμεσο (για φυσικό

) από τις

$\displaystyle{\int_{0}^{ \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{T}^{2T} f(x) \, \mathrm{d}x = ... = \int_{(k-1)T}^{kT} f(x) \, \mathrm{d}x }$

Τα υπόλοιπα διευθετούνται άμεσα.

Tolaso J Kos · #3

Όντως γνωστά είναι. Η δική μου λύση για το (α) είναι όπως και η δική σας

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\kappa T} f(x) \, \mathrm{d}x &= \sum_{n=0}^{\kappa-1} \int_{nT}^{(n+1) T} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=0}^{\kappa-1} \int_{0}^{T} f \left ( u + nT \right )\, \mathrm{d}u \\ &= \sum_{n=0}^{\kappa-1} \int_{0}^{T} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &=\kappa \int_{0}^{T} f(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$
Το (β) είναι πιο ενδιαφέρον αλλά και αυτό γνωστό είναι.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 03, 2021 11:52 am
(β) $\displaystyle{ \int_{\alpha + \mu \mathrm{T}}^{\beta + \nu \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, \mathrm{d}x + \left ( \nu - \mu \right ) \int_{0}^{\mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x }$

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 03, 2021 2:07 pm
Το (β) είναι πιο ενδιαφέρον αλλά και αυτό γνωστό είναι.

To β) είναι άμεσο από το α), αλλά για λόγους πληρότητας ας το δούμε.

$\displaystyle{ \int_{\alpha + \mu \mathrm{T}}^{\beta + \nu \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x - \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\alpha + \mu \mathrm{T}}^{\beta + \nu \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x - \left ( \int_{\alpha}^{\alpha + \mu T} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{\alpha +\mu T}^{\beta } f(x) \, \mathrm{d}x \right )=$

$\displaystyle{ =\int_{\beta }^{\beta + \nu \mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x - \int_{\alpha}^{\alpha + \mu T} f(x) \, \mathrm{d}x }$

το οποίο από το α) είναι ίσο με τον όρο $\displaystyle{ \left ( \nu - \mu \right ) \int_{0}^{\mathrm{T}} f(x) \, \mathrm{d}x }}$ στο δεξί μέλος.

Περιοδικότητα και ολοκλήρωμα

Περιοδικότητα και ολοκλήρωμα

Re: Περιοδικότητα και ολοκλήρωμα

Re: Περιοδικότητα και ολοκλήρωμα

Re: Περιοδικότητα και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση