ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

vasvas · #1

Μια άσκηση στα ολοκληρώματα, στη διάθεση των συναδέλφων.

OL1.pdf: (115.85 KiB) Μεταφορτώθηκε 160 φορές

OL1.ggb: (13.88 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές

OL1.docx: (75.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 88 φορές

Christos.N · #2

Δεοντολογικά δεν επιτρέπεται η ανάρτηση θέματος σε αρχείο, αλλά αφού υπάρχει ας δούμε την γενίκευση του.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση

με πεδίο ορισμού [a,b]

. Αν η

είναι γνησίως αύξουσα, να βρεθεί το σημείο M(x_0 , f ( x _0 ))

, με
 $a \le x_0 \le b$ , ώστε το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης

και των ευθειών x= a,~ x= b

και

, να γίνεται ελάχιστο.

vasvas · #3

Γενικά, αρκεί να προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Ευχαριστώ για την παρατήρηση.

#4

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 1:35 pm
Δεοντολογικά δεν επιτρέπεται η ανάρτηση θέματος σε αρχείο, αλλά αφού υπάρχει ας δούμε την γενίκευση του.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού . Αν η είναι γνησίως αύξουσα, να βρεθεί το σημείο , με
 $a \le x_0 \le b$ , ώστε το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και των ευθειών και , να γίνεται ελάχιστο.

Πρώτα να καλωσορίσουμε το νέο μέλος vasvas στη παρέα του

Συμφωνώντας με την παρατήρηση του Χρήστου προτείνω στο νέο μας μέλος να διαβάσει τι ισχύει για τις αναρτήσεις στο καταστατικό του

δίνω μιά αντιμετώπιση στη γενίκευση του Χρήστου...

ΛΥΣΗ

Θέλουμε $a\le {{x}_{0}}\le \beta$ ώστε το εμβαδόν που δίνεται από το τύπο

$E=\int\limits_{a}^{{{x}_{0}}}{|f(x)-f({{x}_{0}})|dx}+\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\beta }{|f(x)-f({{x}_{0}})|dx}$ να γίνεται ελάχιστο.

Επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα ισχύει $x\le {{x}_{0}}\Rightarrow f(x)\le f({{x}_{0}}),\,\,\,x\ge {{x}_{0}}\Rightarrow f(x)\ge f({{x}_{0}})\,\,$

επομένως το εμβαδό δίνεται από το τύπο $E=\int\limits_{a}^{{{x}_{0}}}{(f({{x}_{0}})-f(x))dx}+\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\beta }{(f(x)-f({{x}_{0}}))dx}$

και αν

μία αρχική της

στο $[a,\,\beta ]$ γίνεται

$E=\left[ f({{x}_{0}})x-F(x) \right]_{a}^{{{x}_{0}}}+\left[ F(x)-f({{x}_{0}})x \right]_{{{x}_{0}}}^{\beta }$ ή

$\displaystyle E=\left[ f({{x}_{0}}){{x}_{0}}-F({{x}_{0}})-f({{x}_{0}})a-F(a) \right]+\left[ F(\beta )-f({{x}_{0}})\beta -F({{x}_{0}})+f({{x}_{0}}){{x}_{0}} \right]$ ή

$\displaystyle E=f({{x}_{0}})(2{{x}_{0}}-a-\beta )-2F({{x}_{0}})+F(a)+F(\beta )$ να γίνεται ελάχιστο

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle E(x)=f(x)(2x-a-\beta )-2F(x)+F(a)+F(\beta ),\,\,x\in [a,\,\beta ]$

που είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle {E}'(x)={f}'(x)(2x-a-\beta )+2f(x)-2f(x)={f}'(x)(2x-a-\beta )$

και αφού $\displaystyle {E}'(\frac{a+\beta }{2})=0$ και $\displaystyle {f}'(x)\ge 0,\,\,x\in [a,\,\beta ]$ και

$\displaystyle 2x-a-\beta <0\Leftrightarrow x<\frac{a+\beta }{2},\,\,\,2x-a-\beta >0\Leftrightarrow x>\frac{a+\beta }{2}$ στο σημείο

$\displaystyle {{x}_{0}}=\frac{a+\beta }{2}$ η συνάρτηση $\displaystyle E$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

Μέλη σε σύνδεση