Από εισαγωγικές εξετάσεις εξωτερικού

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2023 12:41 pm
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που οριοθετείται από τις καμπύλες

$y=\sqrt{x},\,\,\,\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\,\,$ και τον άξονα των $\,\,x$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Εισαγωγικές εξετάσεις του Ινστιτούτου Τεχνολογίας του Τόκιο το 1956.

Είναι $\displaystyle y = \sqrt x ,x \geqslant 0$ ΚΑΙ $\displaystyle \sqrt x + \sqrt y = 1,0 \leqslant x \leqslant 1.$ Λύνοντας το σύστημα

βρίσκω ότι οι δύο καμπύλες τέμνονται στο σημείο με τετμημένη $\displaystyle {x_0} = \frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}.$

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle E = I + J,$ όπου $\displaystyle I = \int_0^{\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} {\sqrt x dx} ,J = \int_{\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}}^1 {(1 - \sqrt x } {)^2}dx,$

απ' όπου $\displaystyle I = \frac{2}{3}\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right),J = \frac{1}{{12}}\left( {17\sqrt 5 - 37} \right),$ άρα $\boxed{E = \frac{5}{{12}}\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)}$

Ελπίζω οι πράξεις να είναι σωστές (δεδομένου ότι υπάρχουν περίεργα νούμερα).

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

Σ' ευχαριστώ Ορέστη για το πολύ ωραίο σχήμα!

Από εισαγωγικές εξετάσεις εξωτερικού

Από εισαγωγικές εξετάσεις εξωτερικού

Re: Από εισαγωγικές εξετάσεις εξωτερικού

Re: Από εισαγωγικές εξετάσεις εξωτερικού

Re: Από εισαγωγικές εξετάσεις εξωτερικού

Μέλη σε σύνδεση