Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Tolaso J Kos · #1

Έστω $P(x) = \left ( x -3 \right ) \left ( x-7 \right ) \left ( x -8 \right )$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{12} \underbrace{P\left ( P\left ( ... P\left ( P(x) \right ) ... \right ) \right )}_{69 \; \text{\gr φορές}}\, \mathrm{d}x}$
Χωρίς λύση...

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2024 10:19 pm
Έστω $P(x) = \left ( x -3 \right ) \left ( x-7 \right ) \left ( x -8 \right )$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{12} \underbrace{P\left ( P\left ( ... P\left ( P(x) \right ) ... \right ) \right )}_{69 \; \text{\gr φορές}}\, \mathrm{d}x}$
Χωρίς λύση...

.

Υπόδειξη: Δείξε για τα φωλιασμένα ολοκληρώματα τις ισότητες

$\displaystyle{ \int_{0}^{12}P(x) dx = \int_{0}^{12}P(P(x)) dx = \int_{0}^{12}P(P(P(x))) dx= ... = 72}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2024 10:19 pm
Έστω $P(x) = \left ( x -3 \right ) \left ( x-7 \right ) \left ( x -8 \right )$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{12} \underbrace{P\left ( P\left ( ... P\left ( P(x) \right ) ... \right ) \right )}_{69 \; \text{\gr φορές}}\, \mathrm{d}x}$

.
Το κλειδί της άσκησης, πέρα από την υπόδειξη που έγραψα στο προηγούμενο ποστ, είναι ότι για κάθε

ισχύει ταυτότητα

$\boxed {P(x)+P(12-x) = 12} {\color {red} (*)}$ και γενικότερα για τα φωλιασμένα

$\boxed {P(P(x)) + P(P(12-x)) = P(P(P(x))) + P(P(P(12-x))) = ... = 12}$ .

Πράγματι για την πρώτη παρατηρούμε ότι το πολυώνυμο

P(x)-12 = (x-3)(x-7)(x-8) - 12

έχει ρίζες τις $4, \,5,\,9$ (ο έλεγχος άμεσος). Άρα

P(x) - 12= (x-4)(x-5)(x-9) = - (4-x)(5-x)(9-x) =

, από όπου το ζητούμενο.

Για το γενικό προχωράμε με επαγωγή. Για το επaγωγικό βήμα από την $P^{(n)}(x) + P^{(n)}(12-x) = 12$ , ισοδύναμα $P^{(n)}(12-x) = 12 -P^{(n)}(x) \, {\color {red} (**)}$ , έχουμε κτυπώντας της με

ότι

$P^{(n+1)}(12-x) = P( P^{(n)}(12-x)) = ^{{\color {red} (**)}}P ( 12 -P^{(n)}(x) ) = ^{{\color {red} (*)}}12- P( P^{(n)}(x) ) = 12 -P^{(n+1)}(x)$ , όπως θέλαμε.

Ερχόμαστε τώρα στο ολοκλήρωμα. Η αλλαγή μεταβλητής $x \to 12-y$ δίνει

$\displaystyle{I = \int _0^{12} P^{(n)} (x) dx = \int _0^{12} P^{(n)} (12-y) dy}$ . Άρα από από την ${\color {red} (**)}$

$\displaystyle{ I= \dfrac {1}{2}\int _0^{12} \left ( P^{(n)} (x) + P^{(n)} (12-x) \right ) dx = \dfrac {1}{2}\int _0^{12} 12 dx = \dfrac {12\times 12}{2}=72}$

Tolaso J Kos · #4

Μιχάλη, τα σέβη μου.

Φαφούτης Επαμεινώνδας · #5

Τι σημαίνει φωλιασμένα;

#6

Φαφούτης Επαμεινώνδας έγραψε: ↑
Τρί Απρ 02, 2024 12:17 pm
Ωραία επιλογή αριθμού, επίσης τι σημαίνει φωλιασμενα;

Φωλιασμένα θα πει το ένα μέσα στο άλλο, όπως δηλαδή είναι τα P(P(x))

,

, ...

Για ποια επιλογή αριθμού μιλάς;

Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Re: Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Re: Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Re: Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Re: Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Re: Ολοκλήρωμα σύνθεσης

Μέλη σε σύνδεση