Συμμετρια (Προς Αποδ.)

Συντονιστής: R BORIS

papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Συμμετρια (Προς Αποδ.)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Παρ Ιουν 04, 2010 8:50 pm

Εστω \displaystyle{f:R \to R} συναρτηση συνεχης και το σημειο \displaystyle{A(\gamma ,\delta )} το κεντρο συμμετριας του

γραφηματος της συναρτησης. Να υπολογισετε το ολοκληρωμα :

\displaystyle{\int\limits_0^{2 \cdot \gamma } {f(t)dt} }

(Τα γ,δ θεωρουνται γνωστα, 2γ ειναι το ανω οριο ολοκληρωσης).


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συμμετρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιουν 04, 2010 9:22 pm

Το ότι το σημείο (\gamma,\delta) είναι το κέντρο συμμετρίας του γραφήματος της συνάρτησης f δίνει ότι

2\delta=f(\gamma+x)+f(\gamma-x) για κάθε x\in\mathbb{R} \ \ (1)

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής από t σε \gamma - u στο δοσμένο ολοκλήρωμα I, βρίσκουμε ότι

I=\displaystyle \int_{-\gamma}^{\gamma}f(\gamma-u)du \ \ (2)

ενώ κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής από t σε \gamma+u στο δοσμένο ολοκλήρωμα I, βρίσκουμε ότι

I=\displaystyle \int_{-\gamma}^{\gamma}f(\gamma+u)du \ \ (3)

Προσθέτοντας τις (2), (3) και χρησιμοποιώντας την (1) παίρνουμε τελικά ότι

2I=\displaystyle\int_{-\gamma}^{\gamma} 2\delta du= 4\gamma\delta

Άρα \boxed{I=2\gamma\delta}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συμμετρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Ιουν 04, 2010 9:47 pm

Ειδική περίπτωση για δ=0 το θέμα που έδωσε ο Θωμάς εδώ viewtopic.php?f=54&t=6952.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης