Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Α.Αποστόλου · #21

Christos.N έγραψε: Εντοπίζεται λάθος στην παραπάνω λύση και αν ναι που;

Μετά το De L'Hospital λείπουν κάποιες παράγωγοι που απλοποιήθηκαν; χμχμχμ ή μήπως η μεταβλητή παραγώγισης είναι το y; (δεύτερο πρόβλημα)
Μας οδηγεί να σκεφτούμε αν y είναι παραγωγίσιμο, που το θέσαμε ίσο με την f(x)

και θεωρήσαμε δεδομένο ότι είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. εεεε... Πέσαμε στην φάκα;

και οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες

ναυάγησε αυτό

apotin · #22

Η $\displaystyle{y=f(x)}$ είναι παραγωγίσιμη;

#23

Christos.N έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(0) = 0}$ . Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {f(x) + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - f(x)} - 1}}}$ .

Ένα μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:

Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής άρα $\displaystyle{f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0}$

Θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {f(x) + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - f(x)} - 1}}\mathop = \limits^{f(x) = y} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt {y + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - y} - 1}}}$

Στο τελευταίο όριο έχουμε απροσδιοριστία $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ και οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες, έτσι θα εφαρμόσουμε τον κανόνα De L' Hospital,άρα : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt {y + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - y} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {y + 1} }}}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {1 - y} }}}} = - 1}$

Εντοπίζεται λάθος στην παραπάνω λύση και αν ναι που;

Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα στην εφαρμογή του l'Hôpital. Ούτε μας ενδιαφέρει αν η

είναι παραγωγίσιμη ή όχι σε αυτό το βήμα.

Εκεί που υπάρχει πρόβλημα είναι στην πρώτη ισότητα. Εκεί δηλαδή όπου γίνεται η αλλαγή μεταβλητής. Χρησιμοποιούμε δηλαδή κανόνες για το όριο σύνθετης συνάρτησης.

Δεν ξέρω πως ακριβώς εξηγεί την θεωρία το σχολικό βιβλίο αλλά αυτό που λείπει για να δικαιολογηθεί το πρώτο βήμα είναι ο έλεγχος ότι $f(x) \neq 0$ για

κοντά στο

. Αυτό όμως δεν είναι δεδομένο. Π.χ. αν f(x) = 0

για κάθε

τότε το ζητούμενο όριο δεν έχει καν νόημα.

[Αν μας δινόταν π.χ. επιπλέον ότι $f(x) \neq 0$ για $x \neq 0$ τότε με τις κατάλληλες αιτιολογήσεις η λύση γίνεται σωστή. Δεν χρειάζεται πουθενά η παραγωγισιμότητα της

.]

#24

--- Αν η $f:(a,b)\to \Bbb{R}$ είναι συνεχής στο $x_0 \in (a,b)$ και ισχύουν f(x)<0,

για κάθε $x\in (a,x_0)$ και f(x)>0

για κάθε $x\in (x_0,b)$ τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει f(x_0)=0.

--- Αν η $f:(a,b)\to \Bbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)

και για κάποιο $x_0\in (a,b)$ ισχύουν f{'} (x)<0,

για κάθε $x\in (a,x_0)$ και f{'}(x)>0

για κάθε $x\in (x_0,b)$ τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει $f{'}(x_0)=0.$

--- Αν η $f:(a,b)\to \Bbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο (a,b)

και σε κάποιο $x_0\in (a,b)$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε η

αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του x_0.

--- Αν η $f:(a,b)\to \Bbb{R}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (a,b)

και σε κάποιο $x_0\in (a,b)$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε η

αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του x_0.

Rempeskes · #25

Καλησπέρα σε όλους.

Παραθέτω ένα Σ-Λ στο οποίο θα ήθελα την γνώμη σας διότι η απάντησή μου είναι διαφορετική από αυτήν του θεματοθέτη.

Επιτρέψτε μου να ανφέρω μετά την πηγή.

Αν

συνεχής με $f(x)\neq 0$ για κάθε $x \in [a,b]$ , τότε ισχύει πάντοτε $\int_{a}^{b}f(x)dx\neq 0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #26

Σωστό είναι .
Αφού η συνάρτηση δεν μηδενίζεται και είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο.
Αρα και το ολοκλήρωμα δεν μηδενίζεται.

Rempeskes · #27

Συμφωνώ κύριε Σταύρο.

Προέρχεται από διαγώνισμα προσομοίωσης του κυρίου Καραγιάννη Ιωάννη (σχολικού συμβούλου).

Το δικαιολογεί μάλιστα με το ολοκλήρωμα περιττής που βγαίνει μηδέν αλλά έτσι το μηδέν ανήκει στο διάστημα ολοκλήρωσης, η συνάρτηση μηδενίζεται και οδηγούμαστε σε άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #28

Θα επαναλάβω το εξής:
Όλοι κάνουμε λάθη.
Εκείνο που δεν κάνουνε όλοι είναι να τα παραδέχονται και να τα διορθώνουν.
Στην συγκεκριμένη περιπτώσει τα πράματα ήταν όπως τα περιέγραψε ο Rempeskes .
Εχει περάσει αρκετή ώρα που έχει διορθωθεί.
Με την ευκαιρία να αναφέρω ότι τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του κ.Καραγιάννη
είναι κατά την γνώμη μου από τα καλύτερα που έχω δει.

#29

Demetres έγραψε:
Christos.N έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(0) = 0}$ . Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {f(x) + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - f(x)} - 1}}}$ .

Ένα μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:

Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής άρα $\displaystyle{f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0}$

Θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {f(x) + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - f(x)} - 1}}\mathop = \limits^{f(x) = y} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt {y + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - y} - 1}}}$

Στο τελευταίο όριο έχουμε απροσδιοριστία $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ και οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες, έτσι θα εφαρμόσουμε τον κανόνα De L' Hospital,άρα : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt {y + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - y} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {y + 1} }}}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {1 - y} }}}} = - 1}$

Εντοπίζεται λάθος στην παραπάνω λύση και αν ναι που;

Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα στην εφαρμογή του l'Hôpital. Ούτε μας ενδιαφέρει αν η είναι παραγωγίσιμη ή όχι σε αυτό το βήμα.

Εκεί που υπάρχει πρόβλημα είναι στην πρώτη ισότητα. Εκεί δηλαδή όπου γίνεται η αλλαγή μεταβλητής. Χρησιμοποιούμε δηλαδή κανόνες για το όριο σύνθετης συνάρτησης.

Δεν ξέρω πως ακριβώς εξηγεί την θεωρία το σχολικό βιβλίο αλλά αυτό που λείπει για να δικαιολογηθεί το πρώτο βήμα είναι ο έλεγχος ότι $f(x) \neq 0$ για κοντά στο . Αυτό όμως δεν είναι δεδομένο. Π.χ. αν για κάθε τότε το ζητούμενο όριο δεν έχει καν νόημα.

[Αν μας δινόταν π.χ. επιπλέον ότι $f(x) \neq 0$ για $x \neq 0$ τότε με τις κατάλληλες αιτιολογήσεις η λύση γίνεται σωστή. Δεν χρειάζεται πουθενά η παραγωγισιμότητα της .]

Σωστά τα λέει ο Δημήτρης.

Το σχολικό αναφέρει στην θεωρία την προϋπόθεση που εδώ δίνει $f(x) \neq 0$ για

κοντά στο

, αλλά αναφέρει ότι η συνθήκη αυτή δεν θα ελέγχεται (στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, διότι τα όρια θα είναι κατάλληλα ορισμένα).

Stateofmind · #30

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε είναι υποχρεωτικά συνεχής στα α,β. Από σχολικό διαγώνισμα φέτος και βέβαια στα περισσότερα βοηθήματα

Tolaso J Kos · #31

Stateofmind έγραψε:Αν f συνεχής στο [α,β] τότε είναι υποχρεωτικά συνεχής στα α,β. Από σχολικό διαγώνισμα φέτος και βέβαια στα περισσότερα βοηθήματα

Λάθος . Η απάντηση στηρίζεται σε ένα σχήμα του σχολικού βιβλίου . Την έχω θέσει σαν ερώτηση παλιά αλλά ψάξε βρες την .

#32

Stateofmind έγραψε:Αν f συνεχής στο [α,β] τότε είναι υποχρεωτικά συνεχής στα α,β. Από σχολικό διαγώνισμα φέτος και βέβαια στα περισσότερα βοηθήματα

Όταν λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα σύνολο δεν εννοούμε (εξ ορισμού) ότι είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου; Τα a,b

δεν είναι σημεία του [a,b]

;

Tolaso J Kos έγραψε:Λάθος . Η απάντηση στηρίζεται σε ένα σχήμα του σχολικού βιβλίου . Την έχω θέσει σαν ερώτηση παλιά αλλά ψάξε βρες την .

Θα ήθελα να έβλεπα ένα επιχείρημα γιατί η σωστή απάντηση είναι το "Λάθος". Εμένα με ξενίζει απόλυτα. Για να μην ξεχάσω και τα Μαθηματικά που ξέρω.

Tolaso J Kos · #33

Ας δούμε το παρακάτω σχήμα που δίνει το σχολικό βιβλίο αμέσως μετά τον ορισμό της συνέχειας σε κλειστό σύνολο. Για το κλειστό σύνολο αναφέρεται το σχήμα $63\beta$ .

: imgB1_337.jpg (11.36 KiB) Προβλήθηκε 2174 φορές

#34

Η απάντηση εξαρτάται από την λεπτομέρεια, αν το [a,b]

είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Στην πρώτη περίπτωση η απάντηση είναι σωστό. Στην δεύτερη λάθος.

#35

Σβήνω την απάντηση που είχα γράψει γιατί έχω ένα τυπογραφικό σφάλμα.

Θα την ξαναγράψω.

Ζητώ συγνώμη που δεν την γράφω αμέσως αλλά πρέπει να κλείσω βιαστικά.

Stateofmind · #36

Εδώ και η τότε συζήτηση http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 49#p179449

Stateofmind · #37

Στο διαγώνισμα του σχολείου είχε τεθεί έτσι ακριβώς χωρίς καμία διευκρίνιση και έτσι εγώ το έβαλα σωστό ακολουθώντας τους κανόνες της λογικής με αποτέλεσμα να το χαρακτήριζε λάθος ο διδάσκων. Θεωρώ ότι το ερώτημα θα ήταν εύστοχο εάν έλεγε: Αν η f είναι συνεχής στο [a,b] ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ του Df, τότε είναι υποχρεωτικά συνεχής στα a,b το οποίο είναι λάθος. Αυτά είναι τα "λεπτά" σημεία των μαθηματικών.

dement · #38

Πάντως φαίνεται να υπάρχουν δύο διαδικτυακές "σχολές" ως προς το θέμα, οι οποίες συμφωνούν στο ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής αν και μόνο αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της

.

Η μία ορίζει τη συνέχεια στο $x_0 \in D$ ως "Για κάθε ακολουθία (a_n)

στο

ισχύει $\lim a_n = x_0 \implies \lim f(a_n) = f(x_0)$ " (ή ισοδύναμα) και τη συνέχεια στο $B \subseteq D$ ως "Η

είναι συνεχής σε κάθε σημείο του

".

Η άλλη ορίζει τη συνέχεια στο $x_0 \in D$ ως "Το x_0

ανήκει στο εσωτερικό του

και $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ " και τη συνέχεια στο $B \subseteq D$ ως "Η f|_B

είναι συνεχής".

Το πρόβλημα με το δεύτερο ορισμό (που είναι και αυτός του σχολικού βιβλίου) είναι ότι βρίσκεται σε αντίθεση με την τοπολογική έννοια της συνέχειας (αφού, μεταξύ των άλλων, θεωρεί τα απομονωμένα σημεία του πεδίου ορισμού σημεία ασυνέχειας), αν και ικανοποιεί περισσότερο διαισθητικές εικόνες συνέχειας όπως "σχεδιασμός του γραφήματος χωρίς σήκωμα του μολυβιού" και τέτοια.

Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Μέλη σε σύνδεση