Σύστημα

erxmer · #1

Δίνονται οι συνάρτησεις f,g

ώστε $\displaystyle{\begin{Bmatrix} f'(x)=f(x)+g(x)\\ \\ g'(x)=g(x)-f(x)\\ \\ f(0)=0,g(0)=1,x \in R\\ \end{matrix}}$

1) Nα αποδείξετε οτι

i) f''(x)=2g(x)

και

ii)

2) Nα υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx}$

3) $\displaystyle{g\left ( -\frac{\pi}{2} \right )=g\left ( \frac{\pi}{2} \right )}$

4) Nα εξετάσετε αν τέμνονται οι συναρτήσεις f,g

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συνάρτησεις ώστε $\displaystyle{\begin{Bmatrix} f'(x)=f(x)+g(x)\\ \\ g'(x)=g(x)-f(x)\\ \\ f(0)=0,g(0)=1,x \in R\\ \end{matrix}}$

1) Nα αποδείξετε οτι

i) και

ii)

2) Nα υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx}$

3) $\displaystyle{g\left ( -\frac{\pi}{2} \right )=g\left ( \frac{\pi}{2} \right )}$

4) Nα εξετάσετε αν τέμνονται οι συναρτήσεις

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
1) (i) Η

είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα f''(x)=f'(x)+g'(x)=2g(x).

Ομοίως η

είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα g''(x)=f'(x)-g'(x)=-2f(x).

(ii) Θεωρώ h(x)= f(x)cosx- g(x)sinx

, παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h'(x)=h(x)

.
Από βασική εφαρμογή είναι h(x)= c e^x

και επειδή h(0)=0

, συμπεραίνουμε ότι h(x)=0.

Άρα

.

2) Από το 1) έχουμε : $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx=-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )g''(x)dx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )g''(x)dx=}$

$=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2} \right )g'\left ( \dfrac{\pi }{2} \right ) - \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{\pi }{2}-0 \right )g' ( 0 ) +\displaystyle{\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}g'(x)dx =$

$=-\dfrac{\pi }{4}g'(0)+\dfrac{1}{2} \left (g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )-g(0) \right )= -\dfrac{\pi }{4} (g(0)-f(0) ) + \dfrac{1}{2} \left (g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )-g(0) \right )=$

$-\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2} g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )- \dfrac{1 }{2} = -\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1 }{2}$ , διότι από το (ii) έχουμε: $f\left (\dfrac{\pi }{2} \right )cos \dfrac{\pi }{2} =g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )sin \dfrac{\pi }{2}$ , από όπου προκύπτει : $g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )= 0 .$

3) Ομοίως από το (ii) έχουμε: $f\left (-\dfrac{\pi }{2} \right )cos (-\dfrac{\pi }{2}) =g\left (-\dfrac{\pi }{2} \right )sin(- \dfrac{\pi }{2})$ , από όπου προκύπτει : $g\left (-\dfrac{\pi }{2} \right )= 0 .$

Άρα $g\left (\dfrac{\pi }{2} \right )=$ $g\left (-\dfrac{\pi }{2} \right ) .$

4) Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την

στο $\left [-\dfrac{\pi }{2} , \dfrac{\pi }{2}\right ] .$
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{o} \in \left ( -\dfrac{\pi }{2}, \dfrac{\pi }{2} \right )$ τέτοιο ώστε $g'(x_{o})=0$ , δηλαδή $f(x_{o})=g(x_{o}),$ με $x_{o}\neq 0.$

Τώρα από το (ii) για $f(x_{o}) \neq 0$ , έχουμε : $f(x_{o})cos x_{o}=g(x_{o})sin x_{o}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $cos x_{o}=sin x_{o}$ $\Leftrightarrow$ $tan x_{o} =1$ ,
αφού αν $cos x_{o} = 0$ θα είχαμε και $sin x_{o} = 0$ , Άτοπο.
Από την τελευταία προκύπτει ότι $x_{o} = \dfrac{\pi }{4}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συνάρτησεις ώστε $\displaystyle{\begin{Bmatrix} f'(x)=f(x)+g(x)\\ \\ g'(x)=g(x)-f(x)\\ \\ f(0)=0,g(0)=1,x \in R\\ \end{matrix}}$

1) Nα αποδείξετε οτι

i) και

ii)

2) Nα υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( x-\frac{\pi}{2} \right )f(x)dx}$

3) $\displaystyle{g\left ( -\frac{\pi}{2} \right )=g\left ( \frac{\pi}{2} \right )}$

4) Nα εξετάσετε αν τέμνονται οι συναρτήσεις

...Καλησπέρα

...μία απάντηση...

1) i)Από {f}'(x)=f(x)+g(x)

είναι

και από

έχουμε ότι {g}''(x)={g}'(x)-{f}'(x)=g(x)-f(x)-f(x)-g(x)=-2f(x)

ii) Θεωρώντας την συνάρτηση $h(x)=f(x)cosx-g(x)sinx,\,\,x\in R$ είναι παραγωγίσιμη με

${h}'(x)={f}'(x)cosx-f(x)\sin x-{g}'(x)sinx-g(x)\cos x=$

$=(f(x)+g(x))cosx-f(x)\sin x-(g(x)-f(x))sinx-g(x)\cos x$

=f(x)cosx-g(x)sinx=h(x)

επομένως σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή ισχύει ότι $h(x)=c{{e}^{x}},\,\,x\in R$ και επειδή

h(0)=f(0)==0

προκύπτει ότι $h(0)=c{{e}^{0}}\Rightarrow 0=c$ επομένως $h(x)=0\Leftrightarrow f(x)cosx-g(x)sinx=0,\,\,x\in R$

που είναι αυτό που θέλαμε.

2) Είναι $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( x-\frac{\pi }{2} \right)}f(x)dx$ λόγω ${g}''(x)=-2f(x)\Leftrightarrow f(x)=-\frac{1}{2}{g}''(x)$ ότι

$I=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( x-\frac{\pi }{2} \right)}{g}''(x)dx=-\frac{1}{2}\left[ (x-\frac{\pi }{2}){g}'(x) \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{g}'(x)dx}=$

$=-\frac{\pi }{4}{g}'(0)+\frac{1}{2}\left[ g(x) \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{\pi }{4}{g}'(0)+\frac{1}{2}\left( g(\frac{\pi }{2})-g(0) \right)$

Τώρα {g}'(0)=g(0)-f(0)=1

και από

είναι

$f(\frac{\pi }{2})cos\frac{\pi }{2}=g(\frac{\pi }{2})sin\frac{\pi }{2}\Rightarrow 0=g(\frac{\pi }{2})$ επομένως $I=-\frac{\pi }{4}$

3) Από f(x)cosx=g(x)sinx

με όπου

το $\frac{\pi }{2}$ προκύπτει ότι

$f(\frac{\pi }{2})cos\frac{\pi }{2}=g(\frac{\pi }{2})sin\frac{\pi }{2}\Rightarrow 0=g(\frac{\pi }{2})$ και με με όπου

το $-\frac{\pi }{2}$

προκύπτει ότι $f(-\frac{\pi }{2})cos(-\frac{\pi }{2})=g(-\frac{\pi }{2})sin(-\frac{\pi }{2})\Rightarrow 0=-g(-\frac{\pi }{2})$ άρα

$g\left( -\frac{\pi }{2} \right)=g\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$

4) Από f(x)cosx=g(x)sinx

με όπου

το $\frac{\pi }{4}$ έχουμε ότι

$f(\frac{\pi }{4})cos\frac{\pi }{4}=g(\frac{\pi }{4})sin\frac{\pi }{4}\Rightarrow f(\frac{\pi }{4})=g(\frac{\pi }{4})$

που σημαίνει ότι έχουνε κοινό σημείο το $\left( \frac{\pi }{4},\,\,{{y}_{0}} \right),\,{{y}_{0}}=f(\frac{\pi }{4})=g(\frac{\pi }{4})$

ή (διαφορετικά) από $g\left( -\frac{\pi }{2} \right)=g\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$ σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει

${{x}_{0}}\in (-\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2})$ που

${g}'({{x}_{0}})=0\Rightarrow g({{x}_{0}})-f({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow g({{x}_{0}})=f({{x}_{0}})$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μπορούμε αν θέλουμε να βρούμε τις συναρτήσεις.

Εύκολα προκύπτει ότι g''(x)-2g'(x)+2g(x)=0

Θέτοντας $g(x)=e^{x}h(x)$

παίρνουμε h''(x)+h(x)=0

που αν δεν κάνω λάθος είναι γνωστή(για τα σχολικά μαθηματικά)

Αλλιώς είναι γνωστότατη.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση