Παραβολικό τρίγωνο

KARKAR · #1

: Παραβολικό τρίγωνο.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

Το

είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x}$ . Έστωσαν σημεία B , C, D

του

, ώστε η

να είναι εφαπτομένη , η

κάθετη στην εφαπτομένη και η

κάθετη στον x'x

.

α) Υπολογίστε το τμήμα

. β) Για ποια θέση του

, είναι : $\widehat{ABC}=30^0$ ;

γ) Βρείτε τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου ABC

. Για ποιο

, είναι : (ABC)=20

;

#2

Καλησπέρα Θανάση
Μια λύση με Αναλυτική Γεωμετρία

$\displaystyle \begin{array}{l} {y^2} = 4x \Rightarrow p = 2\\ a)\,\,\,\,(AB):\,\,\,2y\sqrt a = 2(x + a) \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt a }}x + \sqrt a \\ \,\,\,\,\,\,y = 0 \Rightarrow x = - a \Rightarrow B( - a,0)\\ (AC):y - 2\sqrt a = - \sqrt a (x - a) \Rightarrow y = - \sqrt a x + (a + 2)\sqrt a \\ \,\,\,\,\,\,\,\,y = 0 \Rightarrow x = a + 2 \Rightarrow C(a + 2,0) \Rightarrow (DC) = 2 + a - a = 2\\ \\ b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(BC) = a + 2 - ( - a) = 2 + 2a\\ (BD) = 2a \Rightarrow (AB) = \sqrt {4a + 4{a^2}} = 2\sqrt {a + {a^2}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(AD) = \frac{{(AB)}}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt a = \sqrt {a + {a^2}} \Rightarrow 4a = a + {a^2} \Rightarrow a = 3 \Rightarrow {\rm A}(3,2\sqrt 3 )\\ c)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(ABC) = \frac{{(BC)(AD)}}{2} = \frac{{(2 + 2a)2\sqrt a }}{2} = (2 + 2a)\sqrt a \\ (ABC) = 20 \Leftrightarrow (2 + 2a)\sqrt a = 20 \Leftrightarrow (1 + a)\sqrt a = 10 \Leftrightarrow {a^3} + 2{a^2} + a - 100 = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a = 4 \wedge {a^2} + 6a + 25 = 0 \Leftrightarrow a = 4 \end{array}$

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2020 9:46 pm Παραβολικό τρίγωνο.pngΤο είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x}$ . Έστωσαν σημεία

του , ώστε η να είναι εφαπτομένη , η κάθετη στην εφαπτομένη και η κάθετη στον .

α) Υπολογίστε το τμήμα . β) Για ποια θέση του , είναι : $\widehat{ABC}=30^0$ ;

γ) Βρείτε τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου . Για ποιο , είναι : ;

Ας επισημάνω πρώτα το ιστορικό σχόλιο ότι τα ζητούμενα της άσκησης (πλην των αριθμητικών εφαρμογών) υπάρχουν ρητά καταγεγραμμένα στα Κωνικά του Απολλωνίου, ο οποίος τα έκανε χωρίς Αναλυτική Γεωμετρία.

Εδώ με παραγώγιση η κλίση της

είναι $\dfrac {1}{\sqrt {a}}$ , οπότε οι AB, AC

έχουν εξισώσεις $y-2\sqrt a= \dfrac {1}{\sqrt {a}}(x-a)$ και
$y-2\sqrt a= -\sqrt {a}(x-a)$ , αντίστοιχα. Θέτωντας y=0

έπεται ότι τα B,C

είναι τα

και

.

Tα υπόλοιπα είναι άμεσα. Τα αφήνω ως απλές και άμεσες πράξεις ρουτίνας.

Θα προσθέσω μόνο ότι στα παλιά βιβλία (αλλά όχι στα αρχαία) το ζητούμενο μήκος

είχε όνομα: Ήταν η υφαπτομένη της καμπύλης, και στην Δυτική ορολογία ήταν η subtangent. Ο όρος υφαπτομένη δεν είναι μεν αρχαίος αλλά την έννοια την χρησιμοποίησαν διάφοροι, π.χ. πέρα από τον Απολλώνιο, την χρησιμοποίησε και ο Διοκλής στο Περί Πυρείων του.

Λευτέρης Παπανικολάου · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2020 10:52 pm
KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2020 9:46 pm Παραβολικό τρίγωνο.pngΤο είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : $f(x)=2\sqrt{x}$ . Έστωσαν σημεία

του , ώστε η να είναι εφαπτομένη , η κάθετη στην εφαπτομένη και η κάθετη στον .

α) Υπολογίστε το τμήμα . β) Για ποια θέση του , είναι : $\widehat{ABC}=30^0$ ;

γ) Βρείτε τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου . Για ποιο , είναι : ;
Ας επισημάνω πρώτα το ιστορικό σχόλιο ότι τα ζητούμενα της άσκησης (πλην των αριθμητικών εφαρμογών) υπάρχουν ρητά καταγεγραμμένα στα Κωνικά του Απολλωνίου, ο οποίος τα έκανε χωρίς Αναλυτική Γεωμετρία.

Εδώ με παραγώγιση η κλίση της είναι $\dfrac {1}{\sqrt {a}}$ , οπότε οι έχουν εξισώσεις $y-2\sqrt a= \dfrac {1}{\sqrt {a}}(x-a)$ και
$y-2\sqrt a= -\sqrt {a}(x-a)$ , αντίστοιχα. Θέτωντας έπεται ότι τα είναι τα και .

Tα υπόλοιπα είναι άμεσα. Τα αφήνω ως απλές και άμεσες πράξεις ρουτίνας.

Θα προσθέσω μόνο ότι στα παλιά βιβλία (αλλά όχι στα αρχαία) το ζητούμενο μήκος είχε όνομα: Ήταν η υφαπτομένη της καμπύλης, και στην Δυτική ορολογία ήταν η subtangent. Ο όρος υφαπτομένη δεν είναι μεν αρχαίος αλλά την έννοια την χρησιμοποίησαν διάφοροι, π.χ. πέρα από τον Απολλώνιο, την χρησιμοποίησε και ο Διοκλής στο Περί Πυρείων του.

Η έννοια της υφαπτομένης της καμπύλης μου φάνηκε ενδιαφέρουσα και, ψάχνοντας λίγο στο ίντερνετ, βρήκα τους όρους ''normal'' και ''subnormal''. Μήπως γνωρίζετε την αντίστοιχη ελληνική ορολογία για αυτούς; Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Παραβολικό τρίγωνο

Παραβολικό τρίγωνο

Re: Παραβολικό τρίγωνο

Re: Παραβολικό τρίγωνο

Re: Παραβολικό τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση