Mε απλά υλικά (38)

#1

Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle [-2,8]$ με $\displaystyle f(2)=2$ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \,\,(-2,8]$ , εκτός ίσως από τα $\displaystyle x=2,\,\,x=4$ .
Η γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της φαίνεται στο σχήμα .
Αντλώντας πληροφορίες από αυτό :
α) Να εξετάσετε αν η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στα $\displaystyle x=2,\,x=4$ .
β) Να εξετάσετε αν στα σημεία $\displaystyle -2,\,\,2,\,\,4,\,6,\,8$ η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο ή σημείο καμπής ή τίποτα από αυτά .
γ) Βρείτε το ελάχιστο $\displaystyle m$ , ώστε αν $\displaystyle k>m$ , τότε να ισχύει $\displaystyle \,\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+k}{{f}'(x)}=-\infty$

Υ.Γ. Εκφώνηση με επιφύλαξη
Edit Άλλαξα το σχήμα μετά τις δημοσιεύσεις του Χρήστου και του abgd

abgd · #2

Ωραίο θέμα!

α)
Η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στα σημεία $\displaystyle 2, 4$ . Διαφορετικά θα πρέπει:

$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^-}{ f^{\prime}(x)}=0$
και
$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}{ f^{\prime}(x)}=4$

Ομοίως για το $\displaystyle 4$ .

β)
Είναι $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, \ \ x\in (-2,2)\cup(2,4)$ και εφόσον η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle [-2,4]$ θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle [-2,4]$ .
Ακόμη
$\displaystyle f^{\prime}(x)<0, \ \ x\in (4,6)\cup(6,8)$ και εφόσον η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle [6,8]$ θα είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle [4,8]$ .

Άρα στα σημεία $\displaystyle -2, 8$ παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα και στο σημείο $\displaystyle 4$ ολικό μέγιστο.

Ως προς τα κοίλα... Η $\displaystyle f^{\prime}$ είναι γνησίως φθίνουσα στα $\displaystyle (-2,2), \ \ (2,4)$ , δεν ορίζεται η εφαπτομένη στο $\displaystyle 2$ - εκεί έχουμε γωνιακό σημείο -
και έτσι η $\displaystyle f$ είναι κοίλη στα διαστήματα $\displaystyle [-2,2]$ και $\displaystyle [2,4]$ , χωρίς να είναι κοίλη στο $\displaystyle [-2,4]$ .
Ακόμη, η $\displaystyle f^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (4,6)$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (6,8)$ , οπότε η $\displaystyle f$ είναι κυρτή στο $\displaystyle [4,6]$ , κοίλη στο $\displaystyle [6,8]$ και στο σημείο $\displaystyle 6$ παρουσιάζει καμπή.
γ)
$\displaystyle \lim_{x\to 6}f^{\prime}(x)=0$ και $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ για $\displaystyle x$ κοντά στο $\displaystyle 6$ άρα $\displaystyle \lim_{x\to 6}\frac{1}{f^{\prime}(x)}=-\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to6}\left(f(x)+k\right)=f(6)+k$ .
Αν $\displaystyle k=-f(6)$ τότε το όριο μπορεί να γίνει $\displaystyle \lim_{x\to6}\frac{f^{\prime}(x)}{f^{\prime}^{\prime}(x)}=;$ Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε, χωρίς περισσότερες πληροφορίες,
αν μπορεί να είναι $\displaystyle -\infty$ . Εδώ καλό ήταν να ξέρουμε ότι $\displaystyle \lim_{x\to6}f^{\prime}^{\prime}(x)\ne 0$
Αν $\displaystyle k>-f(6)$ τότε ισχύει $\displaystyle \lim_{x\to 6} \frac{f(x)+k}{f^{\prime}(x)}=-\infty$ .
Άρα πρέπει $\displaystyle m\geq -f(6)$ , ώστε αν $\displaystyle k>m$ θα ισχύει $\displaystyle \lim_{x\to 6} \frac{f(x)+k}{f^{\prime}(x)}=-\infty$
Συνεπώς η μικρότερη τιμή του $\displaystyle m$ είναι το $\displaystyle -f(6)$ .

#3

$\displaystyle{f'(2)=0,f'(4)=-3}$

$\displaystyle{\lim_{x\to -2}f'(x)=+\infty}}$ , $\displaystyle{f''(2-)=0,\lim_{x\to 2+}f'(x)=4,\lim_{x\to 2-}f'(x)=0}$ δεν υπάρχει η $\displaystyle{f''(2)}$ αρα στο 2 δεν εχουμε καμπή

$\displaystyle{f'(x)>0 x<2,f'(x)>0 -2<x<4, f=}$ συνεχής για $\displaystyle{x<4}$ αρα στο 2 δεν εχουμε ούτε ακρότατο

Για αντίστοιχους λόγους δεν εχουμε καμπή στο 4 αλλά ούτε ακρότατο αφου $\displaystyle{f'(4)=-3}$
(ΔΙΟΡΘΩΣΗ)

$\displaystyle{f'(6)=0,f"(6)=0, f"(x)<0, f'(x)<0}$ koντά στο 6

$\displaystyle{f''(8)<0,f'(8)=-3}$ εχουμε ακρότατο στο ακρο του πεδιου ορισμου οχι καμπή

$\displaystyle{f'(x)=-2x+8,2<x<4}$ τοτε $\displaystyle{f(x)=-x^2+8x-10}$ αφού $\displaystyle{f(2)=2}$
ομως η $\displaystyle{{f(6)<f(4)=6}$ αφού $\displaystyle{f}$ ειναι γνησια φθίνουσα στο $\displaystyle{[4,6]}$ αρα $\displaystyle{f(4)+k>f(6)+k\ge 0}$ αλλά $\displaystyle{m>k}$ oπότε $\displaystyle{6+m>0}$ τότε $\displaystyle{m_{min}=-6}$

Christos.N · #4

εδώ υπάρχουν τα εξής αντιφατικά, γιατί αν παρατηρήσει κανείς τις προηγούμενες δημοσιεύσεις ήδη έχουν δοθεί δύο διαφορετικές απαντήσεις στο ερώτημα α).

Αν δεχτούμε ότι δεν παραγωγίζεται στα σημείο x=2

,

από το επιχείρημα

abgd έγραψε: Τρί Φεβ 08, 2022 7:42 pm
α)
Η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στα σημεία $\displaystyle 2, 4$ . Διαφορετικά θα πρέπει:

$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^-}{ f^{\prime}(x)}=0$
και
$\displaystyle f^{\prime}(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}{ f^{\prime}(x)}=4$

Ομοίως για το $\displaystyle 4$ .

τότε έρχεται σε αντίφαση από το προφανές της γραφικής παράστασης C_f'

όπου

R BORIS έγραψε: Τρί Φεβ 08, 2022 8:28 pm $\displaystyle{f'(2)=0,f'(4)=-3}$

Στην πρώτη σκέψη (βλέπε abgd) επειδή μας πληροφορεί το θέμα ότι

exdx έγραψε: Τρί Φεβ 08, 2022 4:43 pm Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle [-2,8]$ με $\displaystyle f(2)=2$ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \,\,(-2,8]$ , εκτός ίσως από τα $\displaystyle x=2,\,\,x=4$ .

αφήνει το περιθώριο η

να μην είναι συνεχής και έρχεται σε συμφωνία με την παρατιθέμενη γραφική παράσταση αυτό όμως δεν σημαίνει ότι δεν ορίζεται η f'(2)

όπως και η f'(4)

. Άρα σωστή απάντηση για το α) θα ήταν η οπτική του (BORIS) , ακολουθώντας λοιπόν αυτήν την οπτική καθώς φτάνουμε στον χαρακτηρισμό του σημείου x=4

ως προς την ύπαρξη ή είδος τοπικού ακροτάτου έχουμε τα εξής:

Συνάρτηση συνεχή σε διάστημα
Παραγωγίσιμη σε σημείο εσωτερικό όπου η παράγωγος δεν μηδενίζεται

Άρα δεν αποτελεί θέση τοπικού ακροτάτου σύμφωνα με αυτό

: Στιγμιότυπο από 2022-02-09 12-53-08.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 1675 φορές

Εδώ έρχεται μια ακόμα αντίφαση καθώς δεν πληρεί η συνάρτηση μας τις παραπάνω προϋποθέσεις.

R BORIS έγραψε: Τρί Φεβ 08, 2022 8:28 pm

Για αντίστοιχους λόγους δεν εχουμε καμπή στο 4 αλλά εχουμε ακρότατο αφου η f' αλλαζει προσημο εκατέρωθεν του 4 μάλιστα είναι τοπικό max

Νομίζω Γιώργη ότι πρέπει να δώσεις γράφημα της

που δεν θα ορίζεται στα επίμαχα σημεία και να συμπληρώσεις την εκφώνηση κατάλληλα , γιατί μάλλον (περισσότερο διαισθητικά ) δεν υπάρχει συνάρτηση να πληρεί τις δοθείσες προϋποθέσεις. Ίσως να κάνω και λάθος στα παραπάνω, διατηρώ τις επιφυλάξεις μου και αναμένω τον διάλογο.

#5

Η συνάρτηση στην οποία στηρίχτηκα είναι υπαρκτή .
Ο τύπος και η γραφική παράσταση φαίνονται στο σχήμα

abgd · #6

Καλησπέρα. Κάποιες παρατηρήσεις...
1.
Μία συνάρτηση $\displaystyle f$ η οποία είναι παραγωγίσιμη κοντά σε κάποιο σημείο $\displaystyle a$ και η $\displaystyle f^{\prime}$ έχει ασυνέχεια της μορφής: πλευρικά όρια στο $\displaystyle a$ διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε η $\displaystyle f$ δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle a$ .
Η απόδειξη είναι άμεση συνέπεια του ορισμού της παραγώγου και του κανόνα DE 'L HOSPITAL.
2.
Η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle m$ δεν μπορεί να είναι $\displaystyle -6$ , κάτι το οποίο αποδεικνύεται και από την $\displaystyle C_f$ που δόθηκε παραπάνω, όπου το ελάχιστο $\displaystyle m$ για το οποίο το όριο $\displaystyle \lim_{x\to6}\frac{f(x)+k}{f^{\prime}(x)}$ , $\displaystyle k>m$ , είναι ίσο με $\displaystyle -\infty$ είναι το $\displaystyle -f(6)=-4$ . Αν υποθέσω ότι το $\displaystyle m$ είναι $\displaystyle -6$ και θέσω το $\displaystyle k=-5>-6$ τότε το όριο δεν θα είναι $\displaystyle -\infty$ αλλά $\displaystyle +\infty$ .
3.
Στην απάντησή μου δεν χρησιμοποίησα το $\displaystyle f(2)=2$ , το οποίο θα ήταν απαραίτητο να χρησιμοποιήσω, αν έπρεπε να δείξω ότι το ελάχιστο $\displaystyle m$ είναι το $\displaystyle -4$ .
4.
Στο αρχικό σχήμα της παραγώγου φαίνεται ότι $\displaystyle \lim_{x\to2^-}f^{\prime}(x) =0$ , κάτι το οποίο χρησιμοποίησα, ενώ στο επόμενο $\displaystyle \lim_{x\to2^-}f^{\prime}(x) =\frac{1}{4}$ .
Τέλος, καλό θα ήταν να παραληφθούν οι "τελείες" από το σχήμα της παραγώγου.

Mε απλά υλικά (38)

Mε απλά υλικά (38)

Re: Mε απλά υλικά (38)

Re: Mε απλά υλικά (38)

Re: Mε απλά υλικά (38)

Re: Mε απλά υλικά (38)

Re: Mε απλά υλικά (38)

Μέλη σε σύνδεση