Αριθμός σημείων τομής

#1

Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ

ρίζες ( $k\geq 0$ ) σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ k+1

σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

gbaloglou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:09 pm Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες ( $k\geq 0$ ) σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Ειναι ασαφής η διατύπωση
1 Περιπτωση
Ειναι οι ρίζες των παραγώγων
$\sin x,34+\sin x$
αντιπαράδειγμα άρα ΛΑΘΟΣ
2 Περίπτωση
Θεωρεί τις ρίζες της f(x)-g(x)

Ειναι άμεσο από Rolle ότι είναι Σωστό.
Διαλέγεται και παίρνεται.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 8:51 pm
gbaloglou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:09 pm Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες ( $k\geq 0$ ) σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.
Ειναι ασαφής η διατύπωση
1 Περιπτωση
Ειναι οι ρίζες των παραγώγων
$\sin x,34+\sin x$
αντιπαράδειγμα άρα ΛΑΘΟΣ
2 Περίπτωση
Θεωρεί τις ρίζες της
Ειναι άμεσο από Rolle ότι είναι Σωστό.
Διαλέγεται και παίρνεται.

Δεν βλέπω πως σχετίζεται η περίπτωση 2 με το ερώτημα μου, ενώ η περίπτωση 1 δεν μου φαίνεται να δίνει αντιπαράδειγμα^ προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω, ας επαναδιατυπώσω λοιπόν το σωστό-λάθος ερώτημα μου:

Έχουμε δύο συναρτήσεις f, g

των οποίων οι συνεχείς παράγωγοι f', g'

έχουν το πολύ

ρίζες σε διάστημα (a,b)

-- το πολύ

ρίζες η

, το πολύ

ρίζες η

. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f-g

έχει το πολύ k+1

ρίζες στο

;

#4

gbaloglou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:09 pm Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες ( $k\geq 0$ ) σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.

Η απάντηση είναι: ΛΑΘΟΣ.

Στο [-1,1]

οι συναρτήσεις $f(x) = \left\{\begin{matrix} x & \alpha \nu \,\, -1 \le x<0\\ x-x^2& \alpha \nu \,\,0 \le x \le 1 \end{matrix}\right.\,\,$ και $\,\,\,g(x) = \left\{\begin{matrix} x & \alpha \nu \,\,-1\le x<0\\ x-x^4& \alpha \nu \, \, 0\le x \le 1\end{matrix}\right.$

ικανοποιούν $f'(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \alpha \nu \,\, -1\le x<0\\ 1-2x& \alpha \nu \,\, 0 \le x \le 1 \end{matrix}\right.\,\,$ και $\,\, g'(x) = \left\{\begin{matrix} 1& \alpha \nu \,\, -1\le x<0\\ 1-4x^3& \alpha \nu \,\, 0 \le x \le 1\end{matrix}\right.$

Συνεπώς οι $f',\, g'$ έχουν το πολύ (και μάλιστα ακριβώς) μία ρίζα η καθεμία αλλά τα γραφήματα των $f,\, g$ τέμνονται άπειρες φορές, π.χ. σε όλα τα $-1<x \le 0$ .

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 19, 2022 12:33 am
gbaloglou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:09 pm Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες ( $k\geq 0$ ) σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.
Η απάντηση είναι: ΛΑΘΟΣ.

Στο οι συναρτήσεις $f(x) = \left\{\begin{matrix} x & \alpha \nu \,\, -1 \le x<0\\ x-x^2& \alpha \nu \,\,0 \le x \le 1 \end{matrix}\right.\,\,$ και $\,\,\,g(x) = \left\{\begin{matrix} x & \alpha \nu \,\,-1\le x<0\\ x-x^4& \alpha \nu \, \, 0\le x \le 1\end{matrix}\right.$

ικανοποιούν $f'(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \alpha \nu \,\, -1\le x<0\\ 1-2x& \alpha \nu \,\, 0 \le x \le 1 \end{matrix}\right.\,\,$ και $\,\, g'(x) = \left\{\begin{matrix} 1& \alpha \nu \,\, -1\le x<0\\ 1-4x^3& \alpha \nu \,\, 0 \le x \le 1\end{matrix}\right.$

Συνεπώς οι $f',\, g'$ έχουν το πολύ (και μάλιστα ακριβώς) μία ρίζα η καθεμία αλλά τα γραφήματα των $f,\, g$ τέμνονται άπειρες φορές, π.χ. σε όλα τα $-1<x \le 0$ .

Ωραίο και ισχυρό αντιπαράδειγμα, αυτό που είχα κατά νου ήταν κάτι σαν τις f(x)=x^4

,

στο

.

: σημεία-τομής.png (26.85 KiB) Προβλήθηκε 1488 φορές

#6

Aς δούμε άλλα παραδείγματα όπου δεν ισχύει το ζητούμενο.

α) Η $f(x) = \sqrt {1-x^2}$ (ημικύκλιο) και g(x)= 1,1-x^2

στο $[-1,\, 1]$ (παραβολή). Η παράγωγοι μηδενίζονται από μία φορά (άμεσο) ενώ οι συναρτήσεις τέμνονται σε τέσσερα, όσα οι λύσεις της $\sqrt {1-x^2} = 1,1-x^2$ (τεταρτοβάθμια με ύψωση στο τετράγωνο). Βλέπε πρώτο σχήμα. Φυσικά 4>1+1

.

β) Το κάνω με σχεδιασμό των γραφημάτων αλλά θα μπορούσα να γράψω και εξισώσεις, όμως προτιμώ τα γραφήματα γιατί είναι εποπτική η εικόνα. Βλέπε δεύτερο σχήμα.

Το κόκκινο και το μπλε γράφημα έχουν από

σημεία όπου μηδενίζεται η παράγωγός τους (είναι στις πράσινες και μαύρες οριζόντιες γραμμές). Όμως τα γραφήματά αυτά τέμνονται σε

σημεία (στα κυκλάκια), δηλαδή σε περισσότερα από 3+1

. Μάλιστα σε περισσότερα από 3+3+1

.
.

Edit: Γιώργο, τώρα είδα το μηνυμά σου, αφού τέλειωσα... Στραβομάρα μου. Ίσως δικαιολογείται γιατί ενώ έγραφα, διέκοψα λόγω τηλεφωνήματος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

gbaloglou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 11:25 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 8:51 pm
gbaloglou έγραψε: Παρ Νοέμ 18, 2022 12:09 pm Σωστό ή λάθος: αν οι παράγωγοι δύο συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων έχουν το πολύ ρίζες ( $k\geq 0$ ) σε δοθέν διιάστημα, τότε τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων έχουν το πολύ σημεία τομής στο δοθέν διάστημα.
Ειναι ασαφής η διατύπωση
1 Περιπτωση
Ειναι οι ρίζες των παραγώγων
$\sin x,34+\sin x$
αντιπαράδειγμα άρα ΛΑΘΟΣ
2 Περίπτωση
Θεωρεί τις ρίζες της
Ειναι άμεσο από Rolle ότι είναι Σωστό.
Διαλέγεται και παίρνεται.
Δεν βλέπω πως σχετίζεται η περίπτωση 2 με το ερώτημα μου, ενώ η περίπτωση 1 δεν μου φαίνεται να δίνει αντιπαράδειγμα^ προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω, ας επαναδιατυπώσω λοιπόν το σωστό-λάθος ερώτημα μου:

Έχουμε δύο συναρτήσεις των οποίων οι συνεχείς παράγωγοι έχουν το πολύ ρίζες σε διάστημα -- το πολύ ρίζες η , το πολύ ρίζες η . Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έχει το πολύ ρίζες στο ;

Καλημέρα Γιώργο.
Εχεις απόλυτα δίκιο.
Εγω δεν κατάλαβα.
Θα δώσω ένα ακόμη παράδειγμα που είναι σε άλλη φιλοσοφία.

$f(x)=\sin n(x+a)+2nx,g(x)=\cos n(x+a)+2nx$
οπου το $n\in \mathbb{N}$
μπορούμε να το διαλέξουμε έτσι ώστε η f-g

να έχει στο (a,b)

όσες ρίζες θέλουμε.

Αριθμός σημείων τομής

Αριθμός σημείων τομής

Re: Αριθμός σημείων τομής

Re: Αριθμός σημείων τομής

Re: Αριθμός σημείων τομής

Re: Αριθμός σημείων τομής

Re: Αριθμός σημείων τομής

Re: Αριθμός σημείων τομής

Μέλη σε σύνδεση