ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ 1

#1

...Καλησπέρα

με μία δημιουργία αποψινή από ιδέα απογευματινή...

Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο

και η συνάρτηση

$F(x)={{e}^{-x}}\int\limits_{0}^{{{e}^{x}}}{f(-t)dt},\,\,\,\,x\in R$

Α) Να δειχθεί ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο

.

Β) Να δειχθεί ότι F(-1)<f(-1)

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

STOPJOHN · #2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα με μία δημιουργία αποψινή από ιδέα απογευματινή...

Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο και η συνάρτηση

$F(x)={{e}^{-x}}\int\limits_{0}^{{{e}^{x}}}{f(-t)dt},\,\,\,\,x\in R$

Α) Να δειχθεί ότι η είναι γνήσια αύξουσα στο .

Β) Να δειχθεί ότι .

Φιλικά και Μαθηματικά

Βασίλης

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά
Α) $F'(x)=-e^{-x}.\int_{0}^{e^{x}}{f(-t)dt}+f(-e^{-x})$

$0\leq t\leq e^{x}\Leftrightarrow -e^{x}\leq -t\leq 0\Rightarrow f(-e^{-x})>f(-t)\Rightarrow \int_{0}^{e^{x}}{f(-t)}dt\prec \int_{0}^{e^{x}}{f(-e^{-x})dt}=f(-e^{-x)}\int_{0}^{e^{-x}}{dt}=e^{x}f(-e^{-x})\Rightarrow F(x)<f(-e^{-x}),(*)$

$F'(x)=-F(x)+f(-e^{-x}),(**) (*),(**)\Rightarrow F'(x)>0$

B) Iσχύουν

$F(-1)=e.\int_{0}^{e^{-1}}{f(-t)dt}$

Ακόμη είναι

$e^{-1}.f(-1)=\int_{0}^{e^{-1}}{f(-1)}dt$

Aρκεί να αποδειχθεί ότι f(-t)<f(-1)

Πράγματι

$0\leq t\leq ^{e^{-1}}\leq 1\Leftrightarrow -1\leq -e^{-1}\leq -t\Rightarrow f(-t)<f(-1)$

φιλικά Γιάννης

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ 1

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ 1

Re: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ 1

Μέλη σε σύνδεση