Επαναληπτική

#1

Δίνεται η συνεχής στο $\displaystyle x = 0$ συνάρτηση $\displaystyle f$ για την οποία γνωρίζουμε ότι :
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0$
α. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R$
β. Να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
γ. Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της $\displaystyle f$ και της $\displaystyle {f^{ - 1}}$ είναι αυτά που βρίσκονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle y = x$ .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f$ και $\displaystyle {f^{ - 1}}$ .

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm
Δίνεται η συνεχής στο $\displaystyle x = 0$ συνάρτηση $\displaystyle f$ για την οποία γνωρίζουμε ότι :
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0$
α. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R$

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη

Ξεκινάω με αυτό το ερώτημα μιας και μου κέντρισε το ενδιαφέρον. Επειδή η σχέση ισχύει για κάθε $x \neq 0$ δε μπορεί παρά το όριο $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x}$ να είναι πραγματικός αριθμός. Ας τον συμβολίσουμε με $\ell$ . Τότε,

$\displaystyle{\frac{f(x)}{x} - \frac{\ell}{x} = e^x \left ( x-1 \right ) + 1 \Rightarrow f(x) = e^x \left ( x^2-x \right ) + x + \ell \quad \text{\gr για κάθε} \; x \neq 0}$
Επιπλέον αν θέσουμε $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ κοντά στο x=0

τότε $\lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=\ell$ . Συνεπώς:

$\displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x) = x g(x) \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0} x g(x) = 0 \cdot \ell =0 }$
Εφόσον η

είναι συνεχής στο x_0=0

έπεται ότι f(0)=0

. Συνεπώς,

$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} e^x \left ( x^2-x \right )+x + \ell & , & x \neq 0 \\ 0 & , & x =0 \end{matrix}\right.}$
Λόγω συνέχειας δε μπορεί παρά $\ell=0$ . Ο τύπος της

έπεται.

Για τα υπόλοιπα ερωτήματα δε βλέπω κάποια δυσκολία. Θα επιστρέψω αν δεν απαντηθούν από κάποιο άλλο μέλος.

#3

exdx έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm
Δίνεται η συνεχής στο $\displaystyle x = 0$ συνάρτηση $\displaystyle f$ για την οποία γνωρίζουμε ότι :
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0$
α. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R$

γ. Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της $\displaystyle f$ και της $\displaystyle {f^{ - 1}}$ είναι αυτά που βρίσκονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle y = x$ .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f$ και $\displaystyle {f^{ - 1}}$ .

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη

Επεξεργασία: Διέγραψα την απάντηση γιατί έγινε ντόμινο, από λάθος υπολογισμό παραγώγου και όλα τα ερωτήματα βγήκαν λάθος. Είχα γράψει e^x(x^2+x+1)+1

αντί του σωστού e^x(x^2+x-1)+1.

Σταμ. Γλάρος · #4

exdx έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 1:30 pm
Δίνεται η συνεχής στο $\displaystyle x = 0$ συνάρτηση $\displaystyle f$ για την οποία γνωρίζουμε ότι :
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1,x\ne 0$
α. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R$
β. Να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
γ. Να δείξετε ότι τα μοναδικά σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της $\displaystyle f$ και της $\displaystyle {f^{ - 1}}$ είναι αυτά που βρίσκονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle y = x$ .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν οι γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f$ και $\displaystyle {f^{ - 1}}$ .

Από μια επαναληπτική συλλογή του Κ. Σερίφη

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
α) Είναι $\displaystyle \frac{f(x)}{x}-\frac{1}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x-1)+1$ $\Leftrightarrow$
$\displaystyle f(x)-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}={{e}^{x}}(x^2-x)+x$ (1)
Αφού $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left [ e^x(x^2-x)+x \right ]=0$ συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left [f(x)-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x} \right ]=0$ .
Το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
Άρα ισχύει $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x}=0$ $\Leftrightarrow$ $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x) =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x}$ $\Leftrightarrow$ $f(0)= \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{x}$ (2) .

Θεωρώ $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ με $\displaystyle \lim_{x \to 0}g(x)=f(0)$ .
Είναι f(x)=x g(x)

. Άρα $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)= \lim_{x \to 0}xg(x) =0\cdot f(0) = 0$ .
Επειδή η

είναι συνεχής έχουμε $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)= f(0) = 0$ .

Από την (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}({{x}^{2}}-x)+x,\,\,\,x\in R$ .

β) Η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με f'(x)= e^xx^2+xe^x-x+1

και

.
Από πινακάκι κλπ. έχουμε $f''(x)>0 ,\forall x\in (-\infty ,-3) \Rightarrow$

: γνησίως αύξουσα στο $(-\infty ,-3]$ .
$f''(x)<0 ,\forall x\in (-3 , 0) \Rightarrow$

: γνησίως φθίνουσα στο [-3,0]

.
$f''(x)>0 ,\forall x\in (0 , +\infty ) \Rightarrow$

: γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .

Τώρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ e^x(x^2+x-1) +1\right ]=1$ ,
αφού $\displaystyle {\lim_{x\rightarrow -\infty }[ e^x(x^2+x-1)]= \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x^2+x-1}{e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2x+1}{-e^{-x}} = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2}{e^{-x}} =\lim_{x\rightarrow -\infty } 2e^x =0$
Εφαρμόσαμε δύο φορές κανόνα de l' Hospital .
Επίσης $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ e^x(x^2+x-1) +1\right ]=+\infty$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει :

$f'\left ( (-\infty ,-3)] \right )= \left (1, 1+\frac{5}e^3 \right ]$

$f'\left [-3,0]] \right )= \left [0, 1+\frac{5}e^3 \right ]$

$f'\left ( [0, +\infty ) \right )= \left [0, +\infty \right )$

Άρα $f'(x)>0, ,\forall x\in \mathbb{R}^{*}$ και επειδή

: συνεχής στο $\mathbb{R}$ η

είναι γνησίως αύξουσα , συνεπώς και 1-1.
Ομοίως με κανόνα de l' Hospital προκύπτει $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$ και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ .
Άρα $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ .

γ) Είναι $f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f(x))=f(f^{-1}(x)) \Leftrightarrow f(f(x))=x$ , αφού η

είναι 1-1.
Αρκεί να δείξω ότι οι εξισώσεις : f(f(x))=x

(3) και f(x)=x

(4) είναι ισοδύναμες.
Έστω x_o

: ρίζα της (4) . Τότε ισχύει $f(x_o)=x_o \Rightarrow f(f(x_o))=f(x_o)=x_o$ , δηλαδή x_o

: ρίζα της (3) .
Έστω x_o

: ρίζα της (3) . Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει f(x_o)=x_o

.
Έστω $f(x_o)\neq x_o$ .Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις .
i) f(x_o) >x_o

. Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα ισχύει f(f(x_o))>f(x_o)

, οπότε

ΑΤΟΠΟ.
ii) f(x_o) <x_o

. Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα ισχύει f(f(x_o))<f(x_o)

, οπότε

ΑΤΟΠΟ.
Άρα f(x_o)=x_o

δηλαδή $f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ .
Άρα οι λύσεις της $f(x)=f^{-1}(x)$ είναι οι x=0

,

.

δ) Στο (0,1)

η

: κυρτή. Άρα η y=x

βρίσκεται πάνω από την C_f

στο

.
Λόγω της συμμετρίας της

και της $f^{-1}$ έχουμε : $E=2\displaystyle\int_{0}^{1}\left ( x-f(x) \right )dx = ...2(3-e)$ με παραγοντική ολοκλήρωση.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ωχ με πρόλαβαν. Την αφήνω απλά για τον κόπο της πληκτρολόγησης ...

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Μέλη σε σύνδεση