ΠΑΣΧΑΛΙΤΣΑ

alexandropoulos · #1

Δίνεται συνάρτηση με $f\left( x \right) = \int\limits_1^x {e^{t^2 } dt}$ .
α. Να εξετάσετε την συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
β. Να δείξετε ότι η

είναι αντιστρέψιμη και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
γ. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) > x + f\left( 0 \right)$ για κάθε x > 0

.
δ. Να δείξετε ότι $\int\limits_0^x {e^{t^2 } dt} > x$ για κάθε x > 0

.
ε. Έστω

το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

τον άξονα των τετμημένων και την ευθεία $\,x =2$ . Να δείξετε ότι $E < \frac{{e^4 - e}}{2}$

Tolaso J Kos · #2

alexandropoulos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Κάθε επιθυμία σας ευχή μου
Δίνεται συνάρτηση με $f\left( x \right) = \int\limits_1^x {e^{t^2 } dt}$ .
α. Να εξετάσετε την συνάρτηση ως προς τη μονοτονία την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
β. Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
γ. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) > x + f\left( 0 \right)$ για κάθε .
δ. Να δείξετε ότι $\int\limits_0^x {e^{t^2 } dt} > x$ για κάθε .
ε. Έστω το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της τον άξονα των τετμημένων και την ευθεία $\,x =2$ . Να δείξετε ότι $E < \frac{{e^4 - e}}{2}$

Καταρχάς η

ορίζεται στο $\mathbb{R}$ και σε αυτό είναι παραγωγίσιμη, άπειρες φορές.

α.Είναι $\displaystyle{f'(x)=e^{x^2}>0, \; \forall x \in \mathbb{R}}$ οπότε η

είναι γνήσια αύξουσα, ενώ $\displaystyle{f''(x)=2xe^{x^2}}$ . Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{f''(0)=0}$ και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου οπότε στο x_0=0

παρουσιάζει καμπή.

β.Η

ως γνήσια μονότονη αντιστρέφεται. Επειδή είναι συνεχής το σύνολο τιμών αυτής (και το πεδίο ορισμού της αντίστροφης) είναι το σύνολο $\displaystyle{\mathcal{R}=\left ( \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x), \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) \right )=(-\infty, +\infty)}$ διότι για $x\geq 1$ είναι $\displaystyle{f(x)\geq e(x-1)}$ (η εφαπτομένη στο x_0=1

είναι κάτω από τη γραφική παράσταση) ενώ για $x\leq 1$ είναι $f(x)\leq e(x-1)$ (η εφαπτομένη πάνω από τη γραφική παράσταση)

γ.Θεωρούμε συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)-x-f(0)}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με $g'(x)=f'(x)-1>0, \; \forall x >0$ . 'Αρα η

γνήσια αύξουσα. Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}g(x)=0}$ . Συνεπώς το ζητούμενο έπεται.

δ.Εύκολα , χρησιμοποιώντας ένα επιχείρημα κυρτότητας, βλέπουμε πως η y=x

είναι η εφαπτομένη της συνάρτησης $\displaystyle{\varphi(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt}$ στο x_0=0

. Όμοια, με τη παραπάνω διαδικασία, η $\varphi$ είναι κυρτή στο $[0, +\infty)$ . Το συμπέρασμα έπεται.

ε.Φανερά είναι f(1)=0

. Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν δίδεται του τύπου $\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega \right )=\int_{0}^{2}\left | f(x) \right |\,dx}$ . Όμως η

είναι γνήσια αύξουσα, οπότε για x<1

είναι

, ενώ για

είναι

. Συνεπώς:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{0}^{2}\left | f(x) \right |\,dx \\ &= \int_{1}^{2}f(x)\,dx-\int_{0}^{1}f(x)\,dx\\ &= \int_{1}^{2}\int_{1}^{x}e^{t^2}\,dt\,dx-\int_{0}^{1}\int_{1}^{x}e^{t^2}\,dt\,dt\\ &= \left [ x\int_{1}^{x}e^{t^2}\,dt \right ]_1^2-\int_{1}^{2}xe^{x^2}\,dx-\cancelto{0}{\left [ x\int_{1}^{x}e^{t^2} \right ]_0^1} + \int_{0}^{1}xe^{x^2}\,dx \\ &= 2\int_{1}^{2}e^{t^2}\,dt -\frac{1}{2}e(e^3-1)+\frac{1}{2}(e-1) \\ &=2f(2)-\frac{1}{2}e(e^3-1)+\frac{1}{2}(e-1) \end{aligned}}$

το οποίο πράγματι είναι μικρότερο από τη ποσότητα που δίδεται (αφήνω τη δικαιόλογηση)

Και καλές γιορτές.. Καλό Πάσχα! Τώρα, από τη Τρίτη ξανά!!

ΠΑΣΧΑΛΙΤΣΑ

ΠΑΣΧΑΛΙΤΣΑ

Re: ΠΑΣΧΑΛΙΤΣΑ

Μέλη σε σύνδεση