Πανελλήνιες 2020 Δ1 spin-off

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Θέτουμε $x_o\in\mathbb{R}$ τη μοναδική λύση της εξίσωσης $e^{x}+2x-e=0$
η οποία μάλιστα δίνεται ότι βρίσκεται στο διάστημα (0,1)

Να αποδειχθεί η ανισότητα $\color{blue}x_o^2<(e-\frac{3}{2})x_o-\frac{e^2-3e+2}{4}$

Σημείωση
To x_o

της άσκησης είναι το x_o

του θέματος Δ1 των Πανελλαδικών Εξετάσεων του 2020 και
το ζητούμενο της παρούσας θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα επιπλέον ερώτημα του 2020-Δ1

vgreco · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 28, 2024 9:47 pm
Θέτουμε $x_o\in\mathbb{R}$ τη μοναδική λύση της εξίσωσης $e^{x}+2x-e=0$
η οποία μάλιστα δίνεται ότι βρίσκεται στο διάστημα

Να αποδειχθεί η ανισότητα $\color{blue}x_o^2<(e-\frac{3}{2})x_o-\frac{e^2-3e+2}{4}$

Σημείωση
To της άσκησης είναι το του θέματος Δ1 των Πανελλαδικών Εξετάσεων του 2020 και
το ζητούμενο της παρούσας θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα επιπλέον ερώτημα του 2020-Δ1

Θεωρούμε την ανίσωση:

$\displaystyle{ x^2 - \Biggl(e - \dfrac{3}{2} \Biggr) x + \dfrac{e^2 - 3e + 2}{4} < 0 }$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:

$\displaystyle{ \Delta = e^2 - 3e + \dfrac{9}{4} - e^2 + 3e - 2 = \dfrac{1}{4} }$

Επομένως, $x \in \biggl[ \dfrac{e - 2}{2}, \dfrac{e - 1}{2} \biggr]$ . Είναι εύκολο, τώρα να δείξουμε ότι το x_0

είναι λύση της παραπάνω ανίσωσης. Άλλωστε:

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} e^{\frac{e - 2}{2}} + 2 \cdot \dfrac{e - 2}{2} - e = e^{\frac{e - 2}{2}} - 2 < e^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{e} - 2 &< 0 \\ e^{\frac{e - 1}{2}} + 2 \cdot \dfrac{e - 1}{2} - e \ge \dfrac{e - 1}{2} + 1 - 1 = \dfrac{e - 1}{2} &> 0 \end{aligned} \right\} \Rightarrow x_0 \in \biggl( \dfrac{e - 2}{2}, \dfrac{e - 1}{2} \biggr) }$

Πανελλήνιες 2020 Δ1 spin-off

Πανελλήνιες 2020 Δ1 spin-off

Re: Πανελλήνιες 2020 Δ1 spin-off

Μέλη σε σύνδεση