Τριγωνομετρική - Εκθετική Συνάρτηση

abgd · #1

Με αφορμή αυτή την εξίσωση, ένα επαναληπτικό θέμα για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=e^{sinx}+e^{cosx}, \ \ x \in [0,2\pi]}$ και $g(x)=xe^{-x}, \ \ x\leq 1$

a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι

.

b. Να λυθεί η εξίσωση f'(x)=0

c. Να μελετηθεί η συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία και να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της.

d. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle {\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{e^{\sqrt{1-x^2}}x-\sqrt{1-x^2}e^x}{\sqrt{1-x^2}}}dx$

vgreco · #2

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 15, 2025 11:42 am
Με αφορμή αυτή την εξίσωση, ένα επαναληπτικό θέμα για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=e^{sinx}+e^{cosx}, \ \ x \in [0,2\pi]}$ και $g(x)=xe^{-x}, \ \ x\leq 1$

a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι .

b. Να λυθεί η εξίσωση

c. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της.

d. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle {\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{e^{\sqrt{1-x^2}}x-\sqrt{1-x^2}e^x}{\sqrt{1-x^2}}}dx$

Η είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της $(-\infty, 1]$ , με:

$\displaystyle{ g'(x) = \bigl( x e^{-x} \bigr)' = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}, \quad x \le 1 }$
Προφανώς για κάθε , συνεπώς αφού η είναι συνεχής στο $(-\infty, 1]$ , άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 1]$ και επομένως στο διάστημα αυτό.
‎
Η είναι και αυτή παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της $[0, 2\pi]$ με:

$\displaystyle{ f'(x) = \bigl( e^{\sin x} + e^{\cos x} \bigr)' = e^{\sin x} \cos x - e^{\cos x} \sin x, \quad x \in [0, 2\pi] }$
Έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &f'(x) = 0 \\[0.05in] &x \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &e^{\sin x} \cos x - e^{\cos x} \sin x = 0 \\[0.05in] &0 \le x \le 2\pi \end{aligned} \right. \Leftrightarrow &\left\{ \begin{aligned} &e^{-\cos x} \cos x = e^{-\sin x} \sin x \\[0.05in] &0 \le x \le 2\pi \end{aligned} \right. \\[0.15in] \overunderset{\cos x \; \in \; [-1,1] \; \subset \; D_g}{\sin x \; \in \; [-1,1] \; \subset \; D_g}{\Leftarrow \joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel \Rightarrow} &\left\{ \begin{aligned} &g(\cos x) = g(\sin x) \\[0.05in] &0 \le x \le 2\pi \end{aligned} \right. \\[0.15in] \overset{g \; 1-1}{\Leftarrow \joinrel=\joinrel=\joinrel \Rightarrow} &\left\{ \begin{aligned} &\cos x = \sin x \\[0.05in] &0 \le x \le 2\pi \end{aligned} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{\textgreek{ή}} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} \right. \end{aligned} }$ ‎
Λύνω την ανίσωση ως προς , όμοια με το προηγούμενο ερώτημα:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &f'(x) > 0 \\[0.05in] &x \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &g(\cos x) > g(\sin x) \\[0.05in] &0 \le x \le 2\pi \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &\cos x > \sin x \\[0.05in] &0 \le x \le 2\pi \end{aligned} \Leftrightarrow x \in \biggl[0, \dfrac{\pi}{4} \biggr) \cup \left(\dfrac{5\pi}{4}, 2\pi \right] \right. }$
Από το πρόσημο της στο και λόγω της συνέχειας της στο ίδιο διάστημα, προκύπτει ότι η :
- είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\biggl[0, \dfrac{\pi}{4} \biggr]$ και $\left[\dfrac{5\pi}{4}, 2\pi \right]$ και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\left[ \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4} \right]$ .
  ‎
- παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο το και στο σημείο $x_2 = \dfrac{5\pi}{4}$ το $f\left( \dfrac{5\pi}{4} \right) = 2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .
  ‎
- παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο $x_3 = \dfrac{\pi}{4}$ το $f\biggl( \dfrac{\pi}{4} \biggr) = 2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ και στο σημείο $x_4 = 2\pi$ το $f(2\pi) = e + 1$ .
Επειδή:

$\displaystyle{ \dfrac{5\pi}{4} < 2\pi \Rightarrow f\left( \dfrac{5\pi}{4} \right) < f(2\pi) \Rightarrow 2e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} < e + 1 \qquad \quad \text{\textgreek{και}} \quad \qquad 0 < \dfrac{\pi}{4} \Rightarrow f(0) < f\biggl( \dfrac{\pi}{4} \biggr) \Rightarrow e + 1 < 2e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} }$
έπεται ότι μέγιστη τιμή της είναι η και ελάχιστη η .
‎
Έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \int_0^\frac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot x - \sqrt{1 - x^2} e^x}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm{d}x &= \int_0^\frac{\sqrt{2}}{2} \left[ \dfrac{e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot x}{\sqrt{1 - x^2}} - e^x \right] \, \mathrm{d}x \\[0.15in] &= \int_0^\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm{d}x - \int_0^\frac{\sqrt{2}}{2} e^x \, \mathrm{d} x \\[0.15in] &= \Bigl( -e^\frac{\sqrt{2}}{2} + e \Bigr) - \Bigl( e^\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \Bigr) \\[0.15in] &= -2e^\frac{\sqrt{2}}{2} + e - 1 \end{aligned} }$
αφού:

$\displaystyle{ \bullet \int_0^\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm{d}x \overunderset{u \; = \; \sqrt{1 - x^2}}{\mathrm{d}u \; = \; \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=} \int_1^\frac{\sqrt{2}}{2} \bigl( -e^x \bigr) \, \mathrm{d} x = \bigl[-e^x\bigr]_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -e^\frac{\sqrt{2}}{2} + e }$

$\displaystyle{ \bullet \int_0^\frac{\sqrt{2}}{2} \bigl( e^x \bigr) \, \mathrm{d} x = \bigl[ e^x \bigr]_0^\frac{\sqrt{2}}{2} = e^\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 }$

abgd · #3

Ευχαριστώ τον vgreco για την αναλυτική λύση του.

Για το d. ερώτημα είχα στο νου μου την σύνδεσή του με την παράγωγο της συνάρτησης

.

Με την αντικατάσταση $x=\cos t, \ \ t \in \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ το ολοκλήρωμα γίνεται:

$\displaystyle {\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} {f'(x)} dx= f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=....}$

Τριγωνομετρική - Εκθετική Συνάρτηση

Τριγωνομετρική - Εκθετική Συνάρτηση

Re: Τριγωνομετρική - Εκθετική Συνάρτηση

Re: Τριγωνομετρική - Εκθετική Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση