Σελίδα 1 από 1

Ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 16, 2010 1:46 pm
από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Καλημέρα.
Αναρτώ ένα διαγώνισμα σε περιορισμένη ύλη και θα ήθελα τη γνώμη σας για το βαθμό δυσκολίας του.
Θωμάς

Re: Ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 16, 2010 2:09 pm
από A.Spyridakis
Θωμά -με την άδειά σου φυσικά ;) -, το μετατρέπω σε pdf για να το διαβάζουν όλοι:

Re: Ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 16, 2010 6:05 pm
από Μάκης Χατζόπουλος
Νομίζω ότι ο τίτλος ένα διαγώνισμα σε περιορισμένη ύλη με τον φάκελο που έχει τοποθετηθεί "Ασκήσεις σε όλη την ύλη" είναι λίγο αντιφατικό!

Το διαγώνισμα Θωμά είναι πολύ καλό! Όλα τα θέματα είναι όμορφα και όχι ετοιματζίδικα που συνήθως βρίσκουμε σε όλα τα βιβλία...

Για δες την λύση του Θέματος 4, σε καλύπτει, σου αρέσει;

Σημείωση: Φυσικά μπορούσα και να μην χρησιμοποιήσω την σχέση f(x)=x για κάθε χ πραγματικό αριθμό αλλά απευθείας από την σχέση που δίνει η άσκηση...

Re: Ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 17, 2010 10:06 am
από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Μάκη καλημέρα.

Για να αποφύγουμε να πούμε ότι αφου η f είναι γνήσια αύξουσα και \displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)} έχουμε \displaystyle{f(x) = x}, θα μπορούσαμε να εργασθούμε ως εξής:
Αφού \displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)} για κάθε \displaystyle{x \in R} \displaystyle{ \Leftrightarrow \left| {z + w} \right|x - \left| {z - 2w} \right| = \frac{1}{{\left| {z + w} \right|}}x + \frac{{\left| {z - 2w} \right|}}{{\left| {z + w} \right|}},x \in R}, οπότε αφού τα δυο πολυώνυμα είναι εκ ταυτότητας ίσα θα έχουμε ισοδύναμα:
\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = \frac{1}{{\left| {z + w} \right|}}}\\ 
{ - \left| {z - 2w} \right| = \frac{{\left| {z - 2w} \right|}}{{\left| {z + w} \right|}}} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = 1}\\ 
{ - \left| {z - 2w} \right| = \left| {z - 2w} \right|} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = 1}\\ 
{\left| {z - 2w} \right| = 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = 1}\\ 
{z = 2w} 
\end{array}} \right.} ...

Βέβαια αν κάποιος μαθητής τεκμηριώσει την απάντησή του χρησιμοποιώντας ότι η f(x)=x θα δεχθούμε τη λύση αλλά αν δεν το αποδείξει θα του κόψουμε 2 μόρια
Θωμάς

Σχόλιο:
Το 1ο , 2ο και 4ο θέμα είναι ιδιοκατασκευές και το 3ο παρμένο ατόφιο από το Βιβλίο του Γιώργου Μιχαηλίδη που το διάλεξα λόγω της μονοτονίας.

Re: Ένα διαγώνισμα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 17, 2010 2:05 pm
από Μάκης Χατζόπουλος
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Μάκη καλημέρα.

Για να αποφύγουμε να πούμε ότι αφου η f είναι γνήσια αύξουσα και \displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)} έχουμε \displaystyle{f(x) = x}, θα μπορούσαμε να εργασθούμε ως εξής:
Αφού \displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)} για κάθε \displaystyle{x \in R} \displaystyle{ \Leftrightarrow \left| {z + w} \right|x - \left| {z - 2w} \right| = \frac{1}{{\left| {z + w} \right|}}x + \frac{{\left| {z - 2w} \right|}}{{\left| {z + w} \right|}},x \in R}, οπότε αφού τα δυο πολυώνυμα είναι εκ ταυτότητας ίσα θα έχουμε ισοδύναμα:
\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = \frac{1}{{\left| {z + w} \right|}}}\\ 
{ - \left| {z - 2w} \right| = \frac{{\left| {z - 2w} \right|}}{{\left| {z + w} \right|}}} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = 1}\\ 
{ - \left| {z - 2w} \right| = \left| {z - 2w} \right|} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = 1}\\ 
{\left| {z - 2w} \right| = 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\left| {z + w} \right| = 1}\\ 
{z = 2w} 
\end{array}} \right.} ...

[/color]
Εξού και η σημείωσή μου Θωμά, ότι θα μπορούσαμε και απευθείας από την ισότητα των συναρτήσεων, δεν γλίτωσα και πολλές πράξεις με την ισοδύναμη εξίσωση f(x)=x.

Καλημέρα Θωμά!