Αν η f έχει μοναδική ρίζα --> f(a)f(b)<0

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Αν η f έχει μοναδική ρίζα --> f(a)f(b)<0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τετ Ιαν 26, 2011 11:17 pm

Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [α,β]
Α) Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β) αν και μόνο αν f(a) \cdot f(\beta)<0
B) Αν η f έχει τύπο f(x)=-tx^{11}-tx+g(t) με x\in[-1,1], t\in\mathbb{R}^* και g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} συνεχής συνάρτηση στο \mathbb{R}
τότε:
1) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο [-1,1]
2) Αν η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-1,1) τότε υπολογίστε το g(0)
τελευταία επεξεργασία από PanosG σε Τετ Ιαν 26, 2011 11:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αν η f έχει μοναδική ρίζα --> f(a)f(b)<0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Ιαν 26, 2011 11:29 pm

PanosG έγραψε:Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α,β]
Α) Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β) αν και μόνο αν f(a) \cdot f(\beta)<0
B) Αν η f έχει τύπο f(x)=-tx^{11}-tx+g(t) με x\in[-1,1], t\in\mathbb{R}^* και g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} συνεχής συνάρτηση στο \mathbb{R}
τότε:
1) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο [-1,1]
2) Αν η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-1,1) τότε υπολογίστε το g(0)
Με κάθε επιφύλαξη να κάνω λάθος γιατί σήμερα έκανα το Θ.Β. και τις συνέπειες του...
Το αν και μόνο αν δεν είναι έκφραση που σημαίνει ισοδυναμία και όχι συνεπαγωγή?
Αν ναι...τότε το Α) νομίζω ότι δεν ισχύει...Βλέποντας και τον τίτλο του θέματος θεωρώ πως εννοείται συνεπαγωγή...


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αν η f έχει μοναδική ρίζα --> f(a)f(b)<0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Ιαν 26, 2011 11:33 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
PanosG έγραψε:Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α,β]
Α) Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β) αν και μόνο αν f(a) \cdot f(\beta)<0
B) Αν η f έχει τύπο f(x)=-tx^{11}-tx+g(t) με x\in[-1,1], t\in\mathbb{R}^* και g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} συνεχής συνάρτηση στο \mathbb{R}
τότε:
1) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο [-1,1]
2) Αν η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-1,1) τότε υπολογίστε το g(0)
Με κάθε επιφύλαξη να κάνω λάθος γιατί σήμερα έκανα το Θ.Β. και τις συνέπειες του...
Το αν και μόνο αν δεν είναι έκφραση που σημαίνει ισοδυναμία και όχι συνεπαγωγή?
Αν ναι...τότε το Α) νομίζω ότι δεν ισχύει...Βλέποντας και τον τίτλο του θέματος θεωρώ πως εννοείται συνεπαγωγή...
Ακριβώς, Αντώνη.

Το Α) δεν είναι σωστό όπως είναι διατυπωμένο. Μπορεί κανείς να κατασεκυάσει πολλά παραδείγματα.
Π.χ. η συνάρτηση ημίτονο στο (\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2}+2010\pi)

Φιλικά,

Αχιλλέας


PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Αν η f έχει μοναδική ρίζα --> f(a)f(b)<0

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τετ Ιαν 26, 2011 11:35 pm

PanosG έγραψε:Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [α,β]
Α) Να αποδείξετε ότι η f έχει μοναδική ρίζα στο (α,β) αν και μόνο αν f(a) \cdot f(\beta)<0
B) Αν η f έχει τύπο f(x)=-tx^{11}-tx+g(t) με x\in[-1,1], t\in\mathbb{R}^* και g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} συνεχής συνάρτηση στο \mathbb{R}
τότε:
1) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο [-1,1]
2) Αν η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-1,1) τότε υπολογίστε το g(0)
Έχετε δίκιο μου ξέφυγε απ την εκφώνηση το γνησίως μονότονη.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης