Δυσκολότερο το πρώτο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δυσκολότερο το πρώτο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 14, 2011 9:36 pm

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=e^{x}(1-x) , με x \in [0 , 1 ].

1) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : f(x)=f^{-1}(x) ;

2) Να δειχθεί ότι : \displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{f^{-1}(x)dx}=e-2

Πιθανότατα από παλιό " Ευκλείδη"


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Δυσκολότερο το πρώτο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Μαρ 16, 2011 10:13 am

Α ερώτημα

Εύκολα βρίσκουμε ότι \displaystyle{f} γν.φθίνουσα στο\displaystyle{I=[0,1]} αρα η εξίσωσή μας ισοδυναμεί με την \displaystyle{f(f(x))=x}
Θέτουμε λοιπόν \displaystyle{g(x)=f(f(x))-x,x\in I}

Υπολογίζουμε την g'' και βρίσκουμε \displaystyle{g''(x)=e^{e^x + 2 x - e^x} x (1 + (-2 + e^x (-1 + x)) x^2)=e^{e^x + 2 x - e^x} x h(x)}
μελετάμε το πρόσημο της h είναι ίδιο με τη; \displaystyle{g''} στο (0,1)

\displaystyle{h'(x)=x (-4 + e^x (-2 + x (2 + x)))\le x (-4 + e (-2 + 1 (2 + 1)))<0} άρα \displaystyle{h} γν φθίνουσα και επειδή \displaystyle{h(0)=1>0,h(1)=-1<0} προκύπτει \displaystyle{h>0 ,x\in (0,a)=A , h<0, x\in (a,1)=B} με \displaystyle{a\in (0,1)}

το πρόσημο της h άρα και της g'' στο Ι είναι όπως πριν άρα \displaystyle{g'} γν.αυξουσα στο Α και γν φθίνουσα στο Β

Αν τώρα το ΜΑΧ της g', \displaystyle{g'(a)\le 0 \Rightarrow g'(x)\le 0, x\inI\Rightarrow } g γν.φθίνουσα στο Ι ενώ \displaystyle{g(0)=g(1)=0} άτοπο

Άρα \displaystyle{g'(a)>0} και επειδή \displaystyle{g'(0)=g'(1)=-1<0} χωρίς δυσκολία προκύπτει ότι η g' έχει δυο ρίζες u,v στο (0,1) και πρόσημο αρνητικό στο (0,u), θετικό στο (u,v) και αρνητικό στο (v,1)

Με δεδομένο ότι \displaystyle{g(0)=0,g(1)=0} και την μονοτονία της g προκύπτουν g>0 στο (0,u] , g<0 στο [v,1) και η g έχει μοναδική ρίζα στο (u,v)

Άρα η εξίσωση μας έχει 3 ρίζες στο [0,1]


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Δυσκολότερο το πρώτο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Μαρ 16, 2011 12:34 pm

B ερώτμα

Το α είναι μια απλή ολοκλήρωση κατά παράγοντες
το β μετά την αλλαγή \displaystyle{f^{-1}(x)=u, f(0)=1 , f(1)=0, dx=f'(u)du} χρησιμοποιεί το α


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δυσκολότερο το πρώτο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 16, 2011 1:11 pm

Εξαιρετικά απαιτητικό το 1ο ερώτημα , τελικά (για δυνατούς λύτες !).

...και συνέπεσε με την αναμόχλευση της "Θεωρίας Πετράκη" , η οποία - παρεμπιπτόντως - νομίζω ότι έλαβε παράλογα μεγάλες διαστάσεις .

Πάντως , παρά τη διαφωνία μου , πρέπει να πώ ότι έχει αξιοποιήσιμα στοιχεία , και ότι

με κατάλληλο "ξεκαθάρισμα" των εννοιών , μπορούν τουλάχιστον να εξαλειφθούν τα σημεία ισχυρής τριβής .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης