ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

propaid
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 4:51 pm

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από propaid » Δευ Μαρ 21, 2011 10:18 am

Αν left(f(x)-x \right)^{3}+x^{2}f(x)=3x^{3}tex] για κάθε x\in R, να βρεθεί ο τύπος της f στο R.
Παρακαλώ μια βοήθεια γιατί κάτι δεν κάνω καλά.
Ευχαριστώ, Στάμου Γιάννης.
τελευταία επεξεργασία από propaid σε Δευ Μαρ 21, 2011 10:23 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Μαρ 21, 2011 10:21 am

propaid έγραψε:Αν left(f(x)-x \right)^{3}+x^{2}f(x)=3x^{3} για κάθε x\in R, να βρεθεί ο τύπος της f στο R.
Παρακαλώ μια βοήθεια γιατί κάτι δεν κάνω καλά.
Ευχαριστώ, Στάμου Γιάννης.

Δεν είναι κατανοητό το πρώτο μέλος της ισότητας,
.


propaid
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 4:51 pm

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από propaid » Δευ Μαρ 21, 2011 10:31 am

Ξαναγράφω την εκφώνηση.
Αν [\left(f(x)-x \right)^{3}+x^{2}f(x)=3x^{3}/tex] για κάθε x που ανήκει στο R, να βρεθεί ο τύπος της f στο R.
Στάμου Γιάννης


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Μαρ 21, 2011 10:45 am

propaid έγραψε:Ξαναγράφω την εκφώνηση.
Αν [\left(f(x)-x \right)^{3}+x^{2}f(x)=3x^{3}/tex] για κάθε x που ανήκει στο R, να βρεθεί ο τύπος της f στο R.
Στάμου Γιάννης
Αν η εκφώνιση είναι όπως την φαντάζομαι (γιατί δεν είναι καλά γραμμένη), τότε η άσκηση είναι πολύ απλή
και σε αφήνω να την σκεφτείς για λίγο μόνος σου

Καλή επιτυχία

ΔΗΜΗΤΡΗΣ


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μαρ 21, 2011 10:52 am

Ο Γιάννης εννοεί μάλλον ότι:
propaid έγραψε:Αν \left(f(x)-x \right)^{3}+x^{2}f(x)=3x^{3} για κάθε x\in R, να βρεθεί ο τύπος της f στο R.
Παρακαλώ μια βοήθεια γιατί κάτι δεν κάνω καλά.
Ευχαριστώ, Στάμου Γιάννης.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Δευ Μαρ 21, 2011 11:48 am

ΕστωG[t]=[t-x]*3+x*2 .t .Ευκολα δειχνουμε οτι η G ειναι γν. αυξ. οποτε 1-1.Απο την υποθεση εχουμε G[f[x]]=G[2x] και επειδη η G ειναι 1-1 εχουμε f[x]=2x........


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μαρ 21, 2011 12:13 pm

διαφορετικά...λιγότερο κομψά... :?

Αν (f(x)-x )^{3}+x^{2}f(x)=3x^{3},\;\;\ (1) για κάθε x\in R, να βρεθεί ο τύπος της f στο R.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f(x)-x=g(x)\rightarrow f(x)=g(x)+x

(1)\longrightarrow g^3(x)+x^2g(x)=2x^3,\;\;\ (2),\,\,x\in \mathbb R

f(0)=0,\,\,\ g(0)=0

\displaystyle \gamma \iota\alpha \;\;\; x\neq 0 :\;\;\ (2)\longrightarrow\displaystyle (\frac{g(x)}{x})^3+\frac{g(x)}{x}=2 \longrightarrow \Big(\frac{g(x)}{x}-1\Big)\Big((\frac{g(x)}{x}+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}\Big)=0

\longrightarrow g(x)=x\rightarrow f(x)=2x

f(x)=2x,\,\, x\in \mathbb R η οποία επαληθεύει την αρχική
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Δευ Μαρ 21, 2011 10:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Μαρ 21, 2011 12:15 pm

Μια σχεδόν ίδια με της Φωτεινής (Μην πάει χαμένο το γράψιμο)

\displaystyle{{\left( {f\left( x \right) - x} \right)^3} + {x^2}f(x) = 3{x^3}\;\left( 1 \right)}

Θέτω στην (1) όπου f\left( x \right) - x = g\left( x \right) οπότε .f\left( x \right) = g\left( x \right) + x\;\;(2). και έχουμε:
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 {g^3}\left( x \right) + {x^2}\left( {g\left( x \right) + x} \right) = 3{x^3} \Rightarrow  \\  
 {g^3}\left( x \right) + {x^2}g\left( x \right) - 2{x^3} = 0 \Rightarrow  \\  
 \left( {{g^3}\left( x \right) - {x^3}} \right) + {x^2}g\left( x \right) - {x^3} = 0 \Rightarrow  \\  
 \left( {g\left( x \right) - x} \right)\left( {{g^2}\left( x \right) + xg\left( x \right) + {x^2}} \right) + {x^2}\left( {g\left( x \right) - x} \right) = 0 \Rightarrow  \\  
 \left( {g\left( x \right) - x} \right)\left( {{g^2}\left( x \right) + xg\left( x \right) + 2{x^2}} \right) = 0 \Rightarrow  \\  
 \end{array}}
g\left( x \right) = x ή

\begin{array}{l} 
 {g^2}\left( x \right) + xg\left( x \right) + 2{x^2} = 0 \Rightarrow  \\  
 {g^2}\left( x \right) + \frac{1}{2}2xg\left( x \right) + \frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{4}{x^2} + 2{x^2} = 0 \Rightarrow  \\  
 {\left( {g\left( x \right) + \frac{1}{2}x} \right)^2} + \frac{7}{4}{x^2} = 0 \\  
 \end{array}
Η οποία είναι αδύνατη

Με g\left( x \right) = x η (2) δίνει ότι f\left( x \right) = 2x


Ηλίας Καμπελής
propaid
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 4:51 pm

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από propaid » Δευ Μαρ 21, 2011 12:24 pm

Σας ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση.
Στάμου Γιάννης


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Μαρ 21, 2011 3:35 pm

Είναι η 4Β7 σελίδα 20 εδώ

βασική ιδέα ήταν να θέσουμε \displaystyle{y=f(x)/x,x\ne 0} και \displaystyle{f(0)=0} καταλήγουμε στην \displaystyle{(y-1)^3+y-3=0} που έχει προφανή λύση το 2 και λόγω μονοτονίας της αντίστοιχης συνάρτησης είναι μοναδική


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες