Άσκηση-1α

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Άσκηση-1α

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Κυρ Μαρ 27, 2011 8:20 pm

Έστω η συνάρτηση f(x)=2x-\eta\mu^2x,\ \ \ x\in(0,2\pi)

A) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f^{-1}

B)
i)αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η f^{-1} είναι παραγωγίσιμη ,να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης g(x)=f^{-1}(x)-2x και την εφαπτομένη της C_{g} στο x_0=2\pi

ii)Να βρείτε το \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{f^{-1}(x)}{x+f^{-1}(x)}}


Φωτεινή Καλδή
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Άσκηση-1α

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Μαρ 27, 2011 9:54 pm

...μιά προσπάθεια.....

Α) Επειδή η f(x)=2x-\eta {{\mu }^{2}}x παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων στο (0,\,\,2\pi ) με {f}'(x)=2-2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x=2-\eta \mu 2x>0 για κάθε

x\in (0,\,\,2\pi )η f είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,2\pi ) άρα και ΄1-1΄ οπότε αντιστρέφεται, και το πεδίο ορισμού της {{f}^{-1}} είναι το σύνολο τιμών της f που επειδή

είναι συνεχής στο \Delta =(0,\,\,2\pi ) και γνήσια αύξουσα είναι f(\Delta )=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to 2{{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))=(0,\,4\pi )

Β)
ι) Τώρα {{f}^{-1}} παραγωγίσιμη η g παραγωγίσιμη στο (0,\,\,4\pi ) με {g}'(x)=({{f}^{-1}}(x){)}'-2 Ακόμη επειδή {f}'(x)>0,\,\,x(0,\,\,2\pi ) θα είναι

{f}'(x)\ne 0,\,\,x(0,\,\,2\pi ) και από f({{f}^{-1}}(x))=x,\,\,x\in (0,\,\,4\pi ) παραγωγίζοντας προκύπτει {f}'({{f}^{-1}}(x))({{f}^{-1}}(x){)}'=1\Leftrightarrow ({{f}^{-1}}(x){)}'=\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(x))}(1)


Έτσι {g}'(x)=\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(x))}-2 και επειδή {f}'(x)=2-\eta \mu 2x είναι 1\le {f}'(x)\le 3 προκύπτει \frac{1}{3}\le \frac{1}{{f}'(x)}\le 1\Leftrightarrow \frac{1}{3}-2\le \frac{1}{{f}'(x)}-2\le -1 άρα

{g}'(x)<0 οπότε g γνήσια φθίνουσα στο (0,\,\,4\pi )

Επίσης είναι g(2\pi )={{f}^{-1}}(2\pi )-4\pi και αφού f(\pi )=2\pi \pi ={{f}^{-1}}(2\pi ) οπότε g(2\pi )=-3\pi και

{g}'(2\pi )=\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(2\pi ))}-2=\frac{1}{{f}'(\pi )}-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}

Άρα η εφαπτομένη της {{C}_{g}} στο (2\pi ,\,\,g(2\pi )) είναι y+3\pi =-\frac{3}{2}(x-2\pi )\Leftrightarrow y=-3x

ιι) Είναι \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}(x)}{x+{{f}^{-1}}(x)} μορφής \frac{0}{0} άρα με DLH \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}(x)}{x+{{f}^{-1}}(x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{f}^{-1}}(x){)}'}{(x+{{f}^{-1}}(x){)}'}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(x))}}{1+\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(x))}} =
=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+{f}'({{f}^{-1}}(x))}=\frac{1}{1+{f}'({{f}^{-1}}(0))}=\frac{1}{1+{f}'(0)}=\frac{1}{3}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Άσκηση-1α

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μαρ 28, 2011 9:11 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...μιά προσπάθεια....
Βασίλη,σε ευχαριστώ.


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης