ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Σεπ 03, 2011 7:40 pm

...Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα μετά από αρκετό καιρό....
ευχόμενος δύναμη και κουράγιο σε όλους τους διδάσκοντες και διδασκομένους
λιγο πριν την έναρξη της νέας σχολικής χρονιάς...
και για δυναμικό ξεκίνημα επισυνάπτω ένα διαγώνισμα που έφτιαξα (στην ύλη που αναφέρω) γιά τα παιδιά παίρνοντας και ιδέες από την παρέα μας εδώ....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ.doc
(82 KiB) Μεταφορτώθηκε 1011 φορές


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
minast1994
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Τρί Δεκ 28, 2010 8:48 pm
Τοποθεσία: Νέα Παλάτια Ωρωπού

Re: ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minast1994 » Σάβ Οκτ 01, 2011 12:28 am

ενδεικτική απάντηση για το θέμα β...
ερώτημα α'
\left ( 1+i\sqrt{3} \right )z_1 -1+i\sqrt{3}=0\Leftrightarrow z_1=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}
απο τούς τύπους vieta o z_1 είναι ρίζα τής εξίσωσης μόνο και μόνο αν
z_1+\bar{z_1}=-\frac{b}{a}=-1 και
z_1\bar{z_1}=\frac{c}{a}=1
είναι
z_1+\bar{z_1}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}+\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}= 
\frac{(1-i\sqrt{3})^{2}+(1+i\sqrt{3})^{2}}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}= 
\frac{1-2i\sqrt{3}-3+1+2i\sqrt{3}-3}{1+3}=-1
επίσης
z_1\bar{z_1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}}=1

άρα z_1 ρίζα τής z^2+z+1=0
τελευταία επεξεργασία από minast1994 σε Σάβ Οκτ 01, 2011 12:59 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Μηνάς Χάτζος.
minast1994
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Τρί Δεκ 28, 2010 8:48 pm
Τοποθεσία: Νέα Παλάτια Ωρωπού

Re: ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minast1994 » Σάβ Οκτ 01, 2011 12:50 am

ερώτημα β'
είναι
z_1^2=(\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i\sqrt{3}})^2=\frac{1-2i\sqrt{3}-3}{1+2i\sqrt{3}-3}=\frac{-2-2i\sqrt{3}}{-2+2i\sqrt{3}}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}}=\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\bar{z_1}
οπότε
z_1^3=z_1^2z_1=z_1\bar{z_1}=\frac{c}{a}=1

ερώτημα γ'
(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}})^{2012} + (\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}})^{2014}+1=\bar{z_1}^{2012}+\bar{z_1}^{2014}+1= 
\overline{z_1^{2012}+z_1^{2014}+1}=\overline{z_1^{2010}z_1^{2}+z_1^{2013}z_1+1}= 
\overline{z_1^{3^{(670)}}z_1^{2}+z_1^{3}^{(671)}z_1+1}=\overline{z_1^{2}+z_1+1}= 
 0
τελευταία επεξεργασία από minast1994 σε Σάβ Οκτ 01, 2011 2:06 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Μηνάς Χάτζος.
minast1994
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Τρί Δεκ 28, 2010 8:48 pm
Τοποθεσία: Νέα Παλάτια Ωρωπού

Re: ΤΕΣΤ ΕΥΡΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minast1994 » Σάβ Οκτ 01, 2011 1:21 am

επίσης για το θέμα Δ
α)
g(x)=xe^x ,x > 0
έστω x_1,x_2 > 0 με x_1< x_2

x_1< x_2 \Rightarrow e^{x_1}<e^{x_2}
0<x_1< x_2
πολλαπλασιάζοντα κατα μέλη έχουμε
x_1e^{x_1}< x_2e^{x_2}\Rightarrow g(x_1)< g(x_2)

άρα g(x)\nearrow (0,+\infty)\Rightarrow g 1-1 ,άρα η g αντιστρέφεται

β)επειδή για x>0 είναι lnx>0 τότε xlnx>0 και επειδή φυσικά e^{f(x)}> 0 τότε θα είναι και f(x)> 0 άρα f(x)e^{f(x)}=g(f(x))
άρα g(f(x))=xlnx ,x> 1
θεωρώ την συνάρτηση h(x)=xlnx ,x>1 για 1< x_1< x_2 είναι
0< ln(x_1)< ln(x_2)
και
0< x_1< x_2
πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα είναι
h(x_1)< h(x_2) άρα h(x) γνησίως αύξουσα στο (1,+{\infty})
επίσης για x_1< x_2 \in (0,+{\infty})
h(x_1)< h(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))< g(f(x_2))
και επείδη η g γνησίως αύξουσα θα είναι f(x_1)< f(x_2) άρα f γνησίως αύξουσα

ερώτημα γ'
g(f(x))=xlnx
για x=e η σχέση γίνεται
g(f(e))=e (1)
επίσης είναι
g(x)=xe^{x}
για x=1
η σχέση γίνεται g(1)=e (2)
απο (1),(2) \Rightarrow g(1)=g(f(e))
και επειδή g 1-1
f(e)=1


Μηνάς Χάτζος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης