Πότε άρχισε το χιόνι;

#1

Ένα πρωί άρχισε να χιονίζει με σταθερό ρυθμό. Ένα εκχιονιστικό μηχάνημα άρχισε να καθαρίζει ένα δρόμο στις 8 π.μ και μέχρι τις 9 π.μ είχε καθαρίσει 2 Km, ενώ μέχρι τις 10 π.μ είχε καθαρίσει 3 Km. Το μηχάνημα μπορεί να απομακρύνει ένα σταθερό όγκο χιονιού ανά ώρα. Να βεθεί πότε άρχισε να χιονίζει.

#2

ΥΠΟΔΕΙΞΗ:

Αφού το μηχάνημα απομακρύνει με σταθερό ρυθμό το χιόνι, τότε η ταχύτητα του μηχανήματος θα πρέπει να είναι αντιστρόφως ανάλογη με το ύψος του χιονιού για κάθε χρονική στιγμή

λειτουργίας του .

#3

Και άλλη υπόδειξη, για το ενδιαφέρον αυτό θέμα:

Ας υποθέσουμε ότι το μηχάνημα διανύει απόσταση x(t)

, όπου

είναι ο χρόνος που πέρασε από την στιγμή που άρχισε να χιονίζει. Έστω επίσης h(t)

το ύψος του χιονιού. Επειδή χιονίζει με σταθερό ρυθμό, άρα και το ύψος του χιονιού αυξάνεται με σταθερό ρυθμό.

Και με βάσει την προηγούμενη υπόδειξη, η ταχύτητα του μηχανήματος είναι αντιστρόφως ανάλογη με το ύψος του χιονιού για κάθε

.

#4

Επειδή έχει περάσει αρκετός χρόνος, θα δώσω μια λύση για να μην μείνει αναπάντητη.

Ας υποθέσουμε ότι

είναι ο χρόνος που πέρασε από την στιγμή που άρχισε να χιονίζει μέχρι τις

το πρωί. Ονομάζουμε x(t)

το διάστημα που διανύει το μηχάνημα σε χρόνο

(την αρχή των χρόνων την μετράμε από την στιγμή που άρχισε να χιονίζει)

Με βάση την εκφώνηση, έχουμε ότι x(n+1)-x(n)=2

και

. Άρα

$\int_{n}^{n+1}{x{'}(t)dt}=2$ , (ΣΧΕΣΗ

)

$\int_{n+1}^{n+2}{x{'}(t)dt}=1$ , (ΣΧΕΣΗ

)

Αφού χιονίζει με σταθερό ρυθμό άρα το ύψος h(t)

του χιονιού αυξάνεται και αυτό με σταθερό ρυθμό.

Άρα $h{'}(t)=c,c>0\Rightarrow h(t)=ct+c_{1}$ και επειδή h(0)=0

έπεται ότι $c_{1}=0$ και άρα h(t)=ct

Επίσης αφού το μηχάνημα απομακρύνει το χιόνι με σταθερό ρυθμό, η ταχύτητά του θα είναι αντιστρόφως ανάλογη με το ύψος του χιονιού.
Άρα $x{'}(t)=\frac{K}{h(t)}\Rightarrow x{'}(t)=\frac{K}{ct}$ όπου

είναι μια σταθερά.

Τώρα οι σχέσεις (1)

και

γράφονται:

$\int_{n}^{n+1}{\frac{K}{ct}dt}=2$

$\int_{n+1}^{n+2}{\frac{K}{ct}dt}=1$

$A\varrho \alpha$

$\frac{K}{c}\left[ln(n+1)-lnn \right]=2$

$\frac{K}{c}\left[ln(n+2)-ln(n+1) \right]=1$

Με διαίρεση κατά μέλη των δύο αυτών σχέσεων, έχουμε:

$\frac{ln(n+1)-lnn}{ln(n+2)-ln(n+1)}=2\Leftrightarrow ln\frac{n+1}{n}=2ln\frac{n+2}{n+1}\Leftrightarrow$

$\frac{n+1}{n}=\left(\frac{n+2}{n+1} \right)^{2}\Leftrightarrow (n+1)^{3}=n(n+2)^{2}\Leftrightarrow n^{2}+n-1=0$

Άρα $n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ώρες

Kostas Vasilopoulos · #5

Μήπως υπάρχουν περισσότερες ασκησεις σαν κι αυτή;

#6

Άλλη μια χιονισμένη από τις επαναληπτικές της Α΄Λυκείου

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #7

Μια άλλη προσέγγιση. Έστω ότι άρχισε να χιονίζει την ώρα $t_{0}$ . Τότε ο όγκος του χιονιού που εκτοπίζει το μηχάνημα είναι:

V(t)=l*h(t)*x(t)

όπου

το πλάτος του δρόμου και x(t)

η θέση του εκχιονιστικού ( θεωρώντας ότι στις 8 βρισκόταν στη θέση 0). Επιπλέον αφού χιονίζει με σταθερό ρυθμό έχουμε ότι $h(t)=k(t-t_{0})\Leftrightarrow h(t)=kt-kt_{0}$ .

Παραγωγίζοντας τον όγκο έχουμε V'(t)=l*x'(t)h(t)+l*x(t)h'(t)

$\Rightarrow V'(t)=l*x'(t)*(kt-kt_{0})+l*x(t)k$ .
Όμως ο ρυθμός μεταβολής του όγκου είναι σταθερός άρα θα ισούται με

.

Επομένως $(t-t_{0})x'(t)+x(t)=\frac{m}{kl}\Rightarrow [(t-t_{0})x(t)]'=a$ όπου a=m/kl

και άρα $(t-t_{0})x(t)=at+c$
και επειδή x(8)=0

προκύπτει

.

Συνεπώς $x(t)=\frac{at-8a}{t-t_{0}}$ .

Επιπλέον $x(9)-x(8)=2\Rightarrow \frac{a}{9-t_{0}}=2\Rightarrow a=18-2t_{0} (1)$ .

Ακόμα $x(10)-x(9)=1\Rightarrow \frac{2a}{10-t_{0}}-2=1\Rightarrow \frac{36-4t_{0}}{10-t_{0}}=3\Rightarrow 36-4t_{0}=30-3t_{0}\Rightarrow t_{0}=6$ χρησιμοποιώντας την (1)

.

Άρα άρχιζε να χιονίζει στις

π.μ.

Υ.Γ.: Κάποιος από πάνω κάνει την παραδοχή στη λύση του ότι όσο προχωρά το εκχιονιστικό η αύξηση του χιονιού θεωρείται αμελητέα και γι' αυτό βρίκει ότι άρχισε να χιονίζει στις 7.30

π.μ. Δηλαδή αφού εγώ θεωρώ ότ και η στάθμη του χιονιού αυξάνεται λογικό είναι να πρέπει να αφαιρέσει περισσότερο χιόνι στη δική μου περίπτωση άρα χρειάζεται να αρχίζει να χιονίζει νωρίτερα.

Πότε άρχισε το χιόνι;

Πότε άρχισε το χιόνι;

Re: Πότε άρχισε το χιόνι;

Re: Πότε άρχισε το χιόνι;

Re: Πότε άρχισε το χιόνι;

Re: Πότε άρχισε το χιόνι;

Re: Πότε άρχισε το χιόνι;

Re: Πότε άρχισε το χιόνι;

Μέλη σε σύνδεση