Eπαναληπτική 11

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Eπαναληπτική 11

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Απρ 28, 2012 4:30 pm

Δίνεται συνάρτηση δύο φoρές παραγωγίσιμη f: R \to R ώστε [ln4]f'(x)-[ln^22]f(x)-f''(x)-2^x=0 και η παρ/μη συνάρτηση g(x)=[ln2]f(x)-f'(x), x \in R, g(0)=0

Α) Nα αποδειχθεί οτι η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{g(x)}{2^x}-x} ειναι σταθερή

B) Να βρεθεί η συνάρτηση f(x)

Γ) Aν η γ.π της f(x) περνά απο το σημείο (0,1) τότε \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty}

Δ) Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ f(x), f^{2}(x)

edit διορθώσεις κατόπιν πμ


chrislg
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Παρ Αύγ 19, 2011 4:50 pm

Re: Eπαναληπτική 11

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chrislg » Παρ Μάιος 04, 2012 11:51 pm

για τα δύο πρώτα
Α)h'(x)=\frac{g'(x)-ln2g(x)}{{2}^{x}}-1=\frac{ln4f'(x)-{ln}^{2}2f(x)-f''(x)-{2}^{x}}{{2}^{x}}=0
Β)ln4f'(x)-{ln}^{2}2f(x)-f''(x)-{2}^{x}=0\Rightarrow ln 2f'(x)-{ln}^{2}2f(x)=f''(x)-ln2f'(x)+{2}^{x}\Rightarrow  {2}^{x}ln2f'(x)-{2}^{x}{ln}^{2}2f(x)={2}^{x}f''(x)-{2}^{x}ln2f'(x)+{2}^{x}{2}^{x} και διαιρώντας με το {2}^{2x} λαμβάνουμε (\frac{ln2f(x)}{{2}^{x}})'=(\frac{f'(x)}{{2}^{x}})' και επειδή ln2f(0)=f'(0) και (0,1)\in {C}_{f} προκύπτει ότι f(x)={2}^{x}-{x}^{2}{2}^{x-1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης