επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

parmenides51 · #1

Μια ακόμα άσκηση του thanasis kopadis από τα αρχεία του

.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}}$ με $\displaystyle{f(0) = 1+ \sqrt2}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f^2(x) - 2e^xf(x) = 1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb {R}}$ .
α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x) =e^x+\sqrt{e^{2x}+1} \,\, , \, x\in \mathbb {R}}$
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{f }$ και να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = 2013}$ έχει μοναδική πραγματική λύση.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)= \ln f(x)}$ είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb {R}}$ .
δ) Αν $\displaystyle{x_1 , x_2 , x_3\in \mathbb {R}}$ με $\displaystyle{0<x_1< x_2< x_3}$ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , να δείξετε ότι $\displaystyle{f^2(x_2) < f(x_1) f(x_3)}$
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha,\beta)}$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\displaystyle{g(\xi) \int_{{\color{red}\xi}}^{\beta}f(u)du=f(\xi) \int_{\alpha}^{{\color{red}\xi}}g(u)du}$
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I=\int_{1}^{2}x^3 f(\ln x)dx}$

edit
Διόρθωση στα άκρα στα ολοκληρώματα στο ε)

dennys · #2

1) Προσθέτοντας και στα δύο μέλη το $e^{2x}$ θα έχουμε

$(f(x)-e^{x})^{2}=e^{2x}+1$ και θέτοντας $g(x)=f(x)-e^{x}\Rightarrow g^{2}(x)=e^{2x}+1$

και έτσι $g(x)\neq 0\Rightarrow g$ και αφου είναι συνεχής η

διατηρεί πρόσημο και επειδή

$g(0)=f(0)-e^{0}=\sqrt{2}>0\Rightarrow g>0\Rightarrow g(x)=\sqrt{e^{2x}+1}\Rightarrow f(x)=e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}$

2) $f{'}(x)=e^{x}+\cfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}>0\Rightarrow f\nearrow$

και αρα το πεδίο τιμών είναι $\displaystyle f(A)=(\lim_{x\to -\infty}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x)=(1,+\infty)$ απλά και επειδή

είναι συνεχής και το $2012\in f(A)\Rightarrow$ υπάρχει απο Θ.Ε.Τ. $x_o\in \mathbb R : f(x_o)=2012$

3)Για την συνάρτηση παραγωγίζοντας $g{'}(x)=\cfrac{f{'}(x)}{f(x)}>0\Rightarrow g \nearrow$

$g{'}{'](x)=\cfrac{e^{x}f(x)}{\sqrt{e^{2x}+1}}>0\Rightarrow g$ κυρτή

4)Aπο την ανισότητα jensen και επειδή για τούς $x_1,x_2,x_3 : 2x_2=x_1+x_3\Rightarrow g(\cfrac{x_1+x_3}{2})<\cfrac{g(x_1)+g(x_3)}{2}$

$2g(x_2)<g(x_1)+g(x_3)\Rightarrow 2\ln(f(x_2))<\ln(f(x_1))+\ln(f(x_3))\Rightarrow f^{2}(x_2)<f(x_1)f(x_3)$

5)Mε θεώρημα Ρόλλ στο [a,b]

για την συνάρτηση $h(x)=\int_a^{x}f(t)dt\int_x^{b}g(t)dt$ και τέλοςT

6)Το ολοκλήρωμα αρχικά με τσάκισμα και μετά με αντικατάσταση

$\displaystyle \int_1^{2}x^{3}f(lnx)dx=\int_1^{2}x^{4}dx+\int_1^{2}x^{3}\sqrt{x^{2}+1}=I_1+I_2$ και επειδή $f(lnx)=x+\sqrt{x^{2}+1}$

και για το πρώτο απλό !!!! και στο δεύτερο με $x^{2}+1=u\Rightarrow x^{2}=u-1, 2xdx=du$

και τα άκρα $\displaystyle x=1, u=2, x=2, u=5 \Rightarrow I_2=\int_2^{5}\cfrac{1}{2}(u-1)(\sqrt{u}du...$ απλό

ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:Μια ακόμα άσκηση του thanasis kopadis από τα αρχεία του .

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}}$ με $\displaystyle{f(0) = 1+ \sqrt2}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f^2(x) - 2e^xf(x) = 1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb {R}}$ .
α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x) =e^x+\sqrt{e^{2x}+1} \,\, , \, x\in \mathbb {R}}$
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\displaystyle{f }$ και να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = 2013}$ έχει μοναδική πραγματική λύση.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)= \ln f(x)}$ είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb {R}}$ .
δ) Αν $\displaystyle{x_1 , x_2 , x_3\in \mathbb {R}}$ με $\displaystyle{0<x_1< x_2< x_3}$ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , να δείξετε ότι $\displaystyle{f^2(x_2) < f(x_1) f(x_3)}$
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\alpha,\beta)}$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\displaystyle{g(\xi) \int_{\alpha}^{\beta}f(u)du=f(\xi) \int_{\alpha}^{\beta}g(u)du}$
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I=\int_{1}^{2}x^3 f(\ln x)dx}$

Το ερώτημα ε) έχει πρόβλημα. Για δες το ξανά.

parmenides51 · #4

ουπς έχεις δίκιο, αντέγραψα λάθος,
τα σωστά άκρα είναι στα ολοκληρώματα από $\displaystyle{\xi}$ εως $\displaystyle{\beta}$ και από $\displaystyle{\alpha}$ εως $\displaystyle{\xi}$
θα τα διορθώσω όταν μπω από η/υ
ευχαριστώ

edit
χρήση latex

dennys · #5

Αμα τα αφήσουμε έτσι και κάνουμε Ρόλλ στην $\displaystyle h(x)=\int_a^{x}lnf(t)dt\int_a^{b}f(u)du-\int_a^{x}f(t)dt\int_a^{b}lnf(u)du$

τότε h(a)=0,h(b)=0...

είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο [a,b]

και το βρήκαμε ή δεν με έπιασε το ντεπόν ακόμα..

φιλικα΄Διονύσης

επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Re: επαναληπτικό 2 (ανάλυση)

Μέλη σε σύνδεση