Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

thanasis kopadis · #1

Δίνονται οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f,g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με σύνολο τιμών $f(\mathbb R)=g(\mathbb R)=\mathbb R$ , για τις οποίες ισχύει: (fog)(x)=(gof)(x)

για κάθε $x \in \mathbb R$ .
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης

διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A(\left|z_1 \right|,\left|2z_1+\bar{z_ 2} \right|)}$ και $\displaystyle{B(\left|z_2 \right|,\left|2+z_1z_2 \right|)}$ ,
όπου $z_1,z_2 \in \mathbb C$ με $\left|z_1 \right|<1$ και $\left|z_2 \right|>2$

α) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

β) Αν $\displaystyle{z_1= \frac{1}{2}i}$ και z_ 2=3+4i

i) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(f(3^x+2x)-1))=3\sqrt{2}}$
ii) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{2f^2(x)\leq -9\sqrt{2}+(6\sqrt{2}+3)f(x)}$

γ) Να αποδείξετε ότι:
i) $\displaystyle{(gof^{-1})(x)=(f^{-1}og)(x)}$
ii) $\displaystyle{(g^{-1}of^{-1})(x)=(f^{-1}og^{-1})(x)}$

Edit

#2

thanasis kopadis έγραψε:Δίνονται οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f,g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ για τις οποίες ισχύει: για κάθε $x \in \mathbb R$ .
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A(\left|z_1 \right|,\left|2z_1+\bar{z_ 2} \right|)}$ και $\displaystyle{B(\left|z_2 \right|,\left|2+z_1z_2 \right|)}$ ,
όπου $z_1,z_2 \in \mathbb C$ με $\left|z_1 \right|<1$ και $\left|z_2 \right|>2$

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

β) Αν $\displaystyle{z_1= \frac{1}{2}i}$ και
i) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(f(3^x+2x)-1))=3\sqrt{2}}$
ii) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{2f^2(x)\leq -9\sqrt{2}+(6\sqrt{2}+3)f(x)}$

γ) Να αποδείξετε ότι:
i) $\displaystyle{(gof^{-1})(x)=(f^{-1}og)(x)}$
ii) $\displaystyle{(g^{-1}of^{-1})(x)=(f^{-1}og^{-1})(x)}$

ΛΥΣΗ

α) Σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει $f(\left| {{z}_{1}} \right|)=\left| 2{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{2}}} \right|$ και

$f(\left| {{z}_{2}} \right|)=\left| 2+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$ και επειδή είναι $\left| {{z}_{1}} \right|<1<2<|{{z}_{2}}|$ και

γνήσια μονότονη

για να δείξουμε ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αρκεί $f(\left| {{z}_{1}} \right|)>f(|{{z}_{2}}|)$ ή

$\left| 2{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{2}}} \right|>\left| 2+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow (2{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{2}}})\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}+{{z}_{2}} \right)>(2+{{z}_{1}}{{z}_{2}})(2+{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}})\Leftrightarrow$

$4{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}>4+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}$

$4{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}>4+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}\Leftrightarrow 4|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-4-|{{z}_{1}}{{|}^{2}}|{{z}_{2}}{{|}^{2}}>0$

$4(|{{z}_{1}}{{|}^{2}}-1)+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}(1-|{{z}_{1}}{{|}^{2}})>0\Leftrightarrow (4-|{{z}_{2}}{{|}^{2}})(|{{z}_{1}}{{|}^{2}}-1)>0$

που ισχύει λόγω υπόθεσης αφού $\left|z_1 \right|<1$ και $\left|z_2 \right|>2$

β) i)Αφού $\displaystyle{z_1= \frac{1}{2}i}$ και z_ 2=3+4i

είναι

$f(\left| \frac{1}{2}i \right|)=\left| 2\frac{1}{2}i+3-4i \right|\Leftrightarrow f(\frac{1}{2})=|3-3i|=3\sqrt{2}$ και

$f(\left| 3+4i \right|)=\left| 2+\frac{1}{2}i(3+4i) \right|\Leftrightarrow f(5)=\frac{3}{2}$ άρα η εξίσωση

$\displaystyle{f(f(3^x+2x)-1))=3\sqrt{2}}$ γίνεται ισοδύναμα $f(f({{3}^{x}}+2x)-1))=f(\frac{1}{2})$

και λόγω ότι

είναι

αφού είναι γνήσια μονότονη ισοδύναμα έχουμε

$f({{3}^{x}}+2x)-1=\frac{1}{2}\Leftrightarrow f({{3}^{x}}+2x)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow f({{3}^{x}}+2x)=f(5)\Leftrightarrow {{3}^{x}}+2x=5$ ή

${{3}^{x}}+2x-5=0$ που έχει προφανή ρίζα το x=1

και επειδή η συνάρτηση $h(x)={{3}^{x}}+2x-5$

είναι γνήσια αύξουσα αφού ${h}'(x)={{3}^{x}}\ln 3+2>0$ άρα και '1-1'

θα είναι και μοναδική.

ii) Από $\displaystyle{2f^2(x)\leq -9\sqrt{2}+(6\sqrt{2}+3)f(x)}$ ισοδύναμα έχουμε

$2{{f}^{2}}(x)-(6\sqrt{2}+3)f(x)+9\sqrt{2}\le 0$ και επειδή ρίζες της $2{{y}^{2}}-(6\sqrt{2}+3)y+9\sqrt{2}\le 0$ είναι $3\sqrt{2},\,\,\,\frac{3}{2}$

ισχύει όταν $\frac{3}{2}\le y\le 3\sqrt{2}$ οπότε όταν $f(5)\le f(x)\le f(\frac{1}{2})$ και αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση θα ισχύει όταν $5\ge x\ge \frac{1}{2}$

γ) Επειδή η $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι γνήσια μονότονη άρα και '1-1'

επομένως αντιστρέψιμη με

${{f}^{-1}}:f(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$

(...το $f(\mathbb{R})$ πρέπει όπως έχει συζητηθεί πάρα πολλές φορές να δίνεται για να κάνουμε χρήση της ${{f}^{-1}}:f(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ ....)

Τώρα από $(go{{f}^{-1}})(x)=({{f}^{-1}}og)(x)\Leftrightarrow g({{f}^{-1}}(x))={{f}^{-1}}(g(x))$ αρκεί να δείξουμε ισοδύναμα ότι

$f(g({{f}^{-1}}(x)))=g(x)$ (1) με όπου το

το ${{f}^{-1}}(x)$ στην f(g(x))=g(f(x))

έχουμε ότι

$f(g({{f}^{-1}}(x)))=g(f({{f}^{-1}}(x)))=g(x)$ αυτό που θέλαμε

ii) Και η η $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι γνήσια μονότονη άρα και '1-1'

επομένως αντιστρέψιμη με

${{g}^{-1}}:g(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ και από

$({{g}^{-1}}o{{f}^{-1}})(x)=({{f}^{-1}}o{{g}^{-1}})(x)\Leftrightarrow {{g}^{-1}}({{f}^{-1}}(x))={{f}^{-1}}({{g}^{-1}}(x))$

αρκεί να δείξουμε ότι ${{f}^{-1}}(x)=g({{f}^{-1}}({{g}^{-1}}(x)))$ ή ${{f}^{-1}}(x)=g({{f}^{-1}}({{g}^{-1}}(x)))=(g\circ {{f}^{-1}})({{g}^{-1}}(x))$

και λόγω του (i) αφού $(go{{f}^{-1}})({{g}^{-1}}(x))=({{f}^{-1}}og)({{g}^{-1}}(x))={{f}^{-1}}(g({{g}^{-1}}(x)))={{f}^{-1}}(x)$ ισχύει αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

thanasis kopadis · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
(...το $f(\mathbb{R})$ πρέπει όπως έχει συζητηθεί πάρα πολλές φορές να δίνεται για να κάνουμε χρήση της ${{f}^{-1}}:f(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ ....)

Έχεις δίκιο συνάδελφε.Παράλειψη μου. Θα το συμπληρώσω και ευχαριστώ για την αναλυτικότατη λύση σου.

Christos.N · #4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: $4{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}>4+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}$

$4{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}>4+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}\Leftrightarrow 4|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-4-|{{z}_{1}}{{|}^{2}}|{{z}_{2}}{{|}^{2}}>0$

Έχω μια ένσταση , αφού στις δύο αυτές προτάσεις -ευθύ και αντίστροφο αν και δεν έχει σύνδεσμο-προσθαφαιρείται σε ανισότητα ο μιγαδικός αριθμός $2{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ . Έχω την πεποίθηση ότι δεν είναι έγκυρος συλλογισμός, εκτός αν χάνω κάτι πράγματι και αυτό φυσικό.

Φιλικά και μαθηματικά

#5

Christos.N έγραψε:
KAKABASBASILEIOS έγραψε: $4{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}>4+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}+2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}$

$4{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}>4+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}\Leftrightarrow 4|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-4-|{{z}_{1}}{{|}^{2}}|{{z}_{2}}{{|}^{2}}>0$
Έχω μια ένσταση , αφού στις δύο αυτές προτάσεις -ευθύ και αντίστροφο αν και δεν έχει σύνδεσμο-προσθαφαιρείται σε ανισότητα ο μιγαδικός αριθμός $2{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ . Έχω την πεποίθηση ότι δεν είναι έγκυρος συλλογισμός, εκτός αν χάνω κάτι πράγματι και αυτό φυσικό.

Φιλικά και μαθηματικά

Χρήστο στην ένσταση σου...
αφαιρούμε και από τα δύο μέλη τον πραγματικό $2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}$ οπότε πιστεύω ότι
είναι εντάξει και δεν γίνεται "φάουλ"

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Christos.N · #6

Βασίλη καλημέρα,

Θα αναπτύξω τον συλλογισμό μου με ένα παράδειγμα, γράφουμε την πρόταση $\displaystyle{2 < 3 \Leftrightarrow 2 + (2i - 2i) < 3 +( 2i - 2i)}$ ο συλλογισμός εδώ "φαίνεται" έγκυρος αφού προσθαφαιρούμε πραγματικό αριθμό. Ισχύει όμως η προσεταιριστική ιδιότητα και έχω το δικαίωμα χρήσης της αφού το σύμβολο

είναι σύμβολο διάταξης πραγματικών αριθμών, έτσι όπως έχει οριστεί ανταποκρινόμενη στην θεωρία που έχει διδαχθεί εώς την Γ' Λυκείου και δεν έχω γνώση άλλη για αυτήν ,
άρα $\displaystyle{2 + 2i - 2i < 3 + 2i - 2i \Leftrightarrow (2 + 2i) - 2i < (3 + 2i) - 2i}$ .

Εγώ εδώ δεν μπορώ να ερμηνεύσω το τελευταίο αποτέλεσμα.

thanasis kopadis · #7

Kαλημέρα σε όλους.
Η δική μου γνώμη για το θέμα που προέκυψε είναι ότι πράγματι σε ανισώσεις στο σύνολο των μιγαδικών δεν έχουμε δικαίωμα να μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο (π.χ ας δοκιμάσουμε να λύσουμε τις ανισώσεις z^2-4z+5<0

και

) , εκτός και αν ο όρος που θα μεταφέρουμε είναι πραγματικός, όπως γίνεται και στη συγκεκριμένη άσκηση.
Φιλικά

Ηλίας Θ. · #8

Christos.N έγραψε:Βασίλη καλημέρα,

Θα αναπτύξω τον συλλογισμό μου με ένα παράδειγμα, γράφουμε την πρόταση $\displaystyle{2 < 3 \Leftrightarrow 2 + (2i - 2i) < 3 +( 2i - 2i)}$ ο συλλογισμός εδώ "φαίνεται" έγκυρος αφού προσθαφαιρούμε πραγματικό αριθμό. Ισχύει όμως η προσεταιριστική ιδιότητα και έχω το δικαίωμα χρήσης της αφού το σύμβολο είναι σύμβολο διάταξης πραγματικών αριθμών, έτσι όπως έχει οριστεί ανταποκρινόμενη στην θεωρία που έχει διδαχθεί εώς την Γ' Λυκείου και δεν έχω γνώση άλλη για αυτήν ,
άρα $\displaystyle{2 + 2i - 2i < 3 + 2i - 2i \Leftrightarrow (2 + 2i) - 2i < (3 + 2i) - 2i}$ .

Εγώ εδώ δεν μπορώ να ερμηνεύσω το τελευταίο αποτέλεσμα.

Καλημέρα σας
Όντως η τελευταία ανισότητα δεν ερμηνεύεται εφ' όσον δεν έχει οριστεί διάταξη στο $\mathb {C}$ ( έχει συζητηθεί το θέμα εδώ στο mathematica.gr αρκετές φορές ).
Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι έχει γίνει κάποιο λάθος μέχρις εκείνου του σημείου. Το επόμενο βήμα θα ήταν λάθος ( αν φυσικά υπήρχε )
Στην λύση του κυρίου Βασίλη, τώρα, εγώ προσωπικά δεν βλέπω κάποιο λάθος, αφού σε μία ανισότητα ( της οποίας αμφότερα τα μέλη είναι πραγματικοί αριθμοί ) αφαιρεί έναν πραγματικό ( κι από τα δύο μέλη ) και τα μέλη παραμένουν πραγματικοί.
Επειδή κι εγώ έτσι το διδάσκω, θα ήθελα να γνωρίζω αν υπάρχει κάποιο λάθος σε αυτό ώστε να το διορθώσω.
Ηλίας

Christos.N · #9

Θα συνεχίσω με το τελευταίο μου επιχείρημα.

για τους πραγματικούς αριθμούς 0,2,3

ισχύει: $\displaystyle{2 < 3 \Leftrightarrow 2 + 0 < 3 + 0}$

για τους αριθμούς $\displaystyle{0i,2,3}$ δεν ισχύει : $\displaystyle{2 < 3 \Leftrightarrow 2 + 0i < 3 + 0i}$ αφού αλλάζουμε σώμα και δεν έχουμε ορίσει διάταξη σε αυτό.

Δηλαδή συνάδελφοι διατυπώνω το εξής: Ο αριθμός

ανήκει ταυτόχρονα σε δύο σώματα στο $\displaystyle{R}$ και στο $\displaystyle{C}$ ,

στις ανισότητες σε τάξη Λυκείου εργαζόμαστε μόνο στους πραγματικούς .

Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Re: Πρωτότυπο συνδυαστικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση