Γνωστή

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Γνωστή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Απρ 14, 2014 9:01 pm

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R \to R για την οποία ισχύει: \displaystyle{f'(x)=\frac{2}{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}}} με
f(0)=0

1) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα

2) Να βρείτε την εφαπτομένη της C_f στο x_0=0 και να δείξετε ότι ln|2x|<|f(x)|<|x|

3) Nα βρείτε τον τύπο της και την αντίστροφη συνάρτηση

4) Να βρείτε τo \displaystyle{\lim_{x \tp +\infty}\int_{2^x}^{2^{x+1}}{\frac{f(t)}{t}dt}}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 14, 2014 10:18 pm

Δε θα δώσω τη λύση, γιατί τη θεωρώ ως μία πολύ ωραία ασκήση, τουλάχιστον ως προς το ερώτημα γ.
Θα δώσω μόνο τους τύπους των συναρτήσεων, και θα αφήσω την εύρεση τους.. καθώς η διαδικασία είναι ωραία (τουλάχιστον εμένα μου αρέσε η διαδικασία της \displaystyle{f}. Οπώς επίσης μου αρέσει και η διαδικασία για την \displaystyle{f^{-1}} η οποία μου είναι γνωστή) Μπορούν να ασχοληθούν και οι μαθητές μας αν θέλουν... καλό θα τους κάνει..

Λοιπόν \displaystyle{f(x)=\ln\left ( x+\sqrt{x^2+1} \right ),\, \, \, \, x\in \mathbb{R}} και \displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\, \, \, \, x\in \mathbb{R}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 16, 2014 12:38 pm

Λοιπόν μιας και δε την επέλυσε κάποιος, ας δώσω λύση αλλά θα αφήσω ορισμένα σημεία , τα οποία τα θεωρώ "καλά" και για τους μαθητές μας. Όμως για να βολευτώ λίγο στο \LaTeX θα βάλω f'(x)\mapsto y' και \displaystyle{f(x)\mapsto y}

1.Μας δίδεται η σχέση \displaystyle{y'=\frac{2}{e^y+e^{-y}}>0 } οπότε η f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο \displaystyle{\mathbb{R}}. Επίσης η παραπάνω σχέση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Τότε παραγωγίζοντας έχουμε:

\displaystyle{y''=\frac{(2)'(e^y+e^{-y})-2(e^y+e^{-y})'}{(e^y+e^{-y})^2}=-2\frac{e^y\cdot y'-y'e^{-y}}{(e^y+e^{-y})^2}=-2\frac{y'(e^y-e^{-y})}{(e^y+e^{-y})^2}} τότε εύκολα βγάζουμε ότι στο \displaystyle{[0, +\infty)} η \displaystyle{f} είναι κοίλη, ενώ στο \displaystyle{(-\infty, 0]} είναι η \displaystyle{f} κυρτή.


2.Είναι \displaystyle{f(0)=0} και \displaystyle{f'(0)=1} (από τη σχέση που μας δίδεται και το δεδομένο). Οπότε η εφαπτομένη στο \displaystyle{x_0=0} είναι η ευθεία \displaystyle{y=x}.

Για την ανισότητα έχουμε: τότε έχουμε ότι \displaystyle{x\geq f(x)\, \, \, \, \forall x\geq 0} αφού η \displaystyle{f} είναι κοίλη, ενώ στο \displaystyle{(-\infty, 0)} είναι \displaystyle{x\leq  f(x)\, \, \, \, \forall x\leq  0} . Από δω προκύπτει ότι \displaystyle{\left | x \right |\geq \left | f(x) \right |}.

Για τη δεύτερη δε βλέπω κάτι άμεσο, ... δε μας δίδει και το διάστημα, αλλά μάλλον θα εννοείς το \displaystyle{\mathbb{R}^*}. Αν είναι έτσι, τότε θεωρώ τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
\ln 2x- f(x) & x>0\\  
 \ln(-2x)+f(x)&x<0  
\end{matrix}\right.} και τη μελετάμε ως προς τη μονοτονία και από γνωστή διαδικασία βγάζουμε το αποτέλεσμα.

3.Ωραίο ερώτημα.
Για να δούμε πώς θα προκύψει η \displaystyle{f}. Από τη σχέση:
\displaystyle{f'(x)=\frac{2}{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}\Leftrightarrow f'(x)\left ( e^{f(x)}+e^{-f(x)} \right )=2\, \, \, \, \forall x\in \mathbb{R}} Τότε:
\displaystyle{f'(x)e^{f(x)}+f'(x)e^{-f(x)}=2\Rightarrow \left ( e^{f(x)}-e^{-f(x)} \right )'=(2x)'\overset{x=0,\, \, \, c=0}{\Rightarrow }e^{f(x)}-e^{-f(x)}=2x\, \, \, \forall x\in \mathbb{R}}. Επομένως:
\displaystyle{e^{2f(x)}-2xe^{f(x)}-1=0} Η τελευταία είναι τριώνυμο με διακρίνουσα θετική... οπότε προκύπτει ότι \displaystyle{f(x)=\ln\left ( x+\sqrt{x^2+1} \right ),\, \, \, x\in \mathbb{R}}.

Η \displaystyle{f} ως γνήσια αύξουσα αντιστρέφεται. Το σύνολο τιμών είναι το \displaystyle{\mathbb{R}} αφού έχουμε:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty } και επιπλέον είναι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=...-\infty } . Επιπλέον η \displaystyle{f} είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής, πράγμα ικανό για να μας δώσει σύνολο τιμών το \displaystyle{\mathbb{R}}.

Έστω \displaystyle{y=f(x)\Leftrightarrow y=\ln\left ( x+\sqrt{x^2+1} \right )\Leftrightarrow e^y=x+\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow (e^y)^2-2xe^y-1=0\Leftrightarrow x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}} οπότε βρήκαμε τον τύπο της \displaystyle{f^{-1}} η οποία έχει τύπο: \displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\, \, \, \, x\in \mathbb{R}}.

4. Θα υπολογίσουμε το όριο:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{2^x}^{2^{x+1}}\frac{f(t)}{t}dt}
Είναι \displaystyle{2^x\leq t\leq 2^{x+1}\overset{f\nearrow}{\iff}f(2^x)\leq f(t)\leq f(2^{x+1})\overset{t>0}{\iff} \frac{f(2^x)}{t}\leq \frac{f(t)}{t}\leq \frac{f(2^{x+1})}{t}\iff }
\displaystyle{f(2^x)\int_{2^x}^{2^{x+1}}\frac{dt}{t}\leq \int_{2^x}^{2^{x+1}}\frac{f(t)}{t}dt\leq f(2^{x+1})\int_{2^x}^{2^{x+1}}\frac{dt}{t}}
Όμως: \displaystyle{\int_{2^x}^{2^{x+1}}\frac{dt}{t}=\left [ \ln t \right ]_{2^x}^{2^{x+1}}=\ln\left ( 2^x\cdot 2 \right )-\ln2^x=\ln 2}
Παίρνοντας όρια στην προηγούμενη σχέση βγάζουμε ότι το όριο είναι \displaystyle{+\infty} αφού \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(2^x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(2^{x+1})=+\infty }.

Τελικά δεν άφησα ορισμένα σημεία, αλλά τα έλυσα όλα. :mrgreen:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Γνωστή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Τετ Απρ 16, 2014 12:50 pm

Ας δώσω έναν τρόπο για την αντίστροφη

\displaystyle{ f(x)=y }

\displaystyle{ e^y=x+\sqrt{x^2+1} \Leftrightarrow e^y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \Leftrightarrow e^y=\frac{1}{e^y-2x} \Leftrightarrow x=\frac{e^y-e^{-y}}{2} }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Γνωστή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Τετ Απρ 16, 2014 12:53 pm

Τόλη έχεις φάουλ εκεί με την διακρίνουσα , πρέπει να γίνει με συμπλήρωση τετραγώνου .


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 16, 2014 12:56 pm

dr.tasos έγραψε:Τόλη έχεις φάουλ εκεί με την διακρίνουσα , πρέπει να γίνει με συμπλήρωση τετραγώνου .
Τάσο, δουλεύει και αυτός ο τρόπος που έγραψα... και αυτός που προτείνεις.
Σε όλα τα βιβλία που έχω, χρησιμοποιούν τον πρώτο τρόπο με τη διακρίνουσα για να βγάλουν την αντίστροφη της \displaystyle{f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}} .. αλλά ας δώσω και το δεύτερο τρόπο που πρότεινες για την πληρότητα.

Έχουμε: \displaystyle{e^{2f(x)}-2xe^{f(x)}-1=0\Leftrightarrow e^{2f(x)}-2xe^{f(x)}+x^2=x^2+1 \Leftrightarrow  \left ( e^{f(x)}-x \right )^2=x^2+1>0\Leftrightarrow }
\displaystyle{e^{f(x)}=x+\sqrt{x^2}+1>0\Leftrightarrow f(x)=\ln \left ( x+\sqrt{x^2+1} \right ), \, \, \, \, x\in \mathbb{R}}
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Τετ Απρ 16, 2014 1:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Γνωστή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Τετ Απρ 16, 2014 1:01 pm

Τόλη συγνώμη δεν έγινα σαφής , εννοούσα εκεί που βρίσκεις την f .


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 16, 2014 1:11 pm

dr.tasos έγραψε:Τόλη συγνώμη δεν έγινα σαφής , εννοούσα εκεί που βρίσκεις την f .
Τάσο το κατάλαβα... ! Ωραία, γράψτε λάθος στη λύση πάνω.. και δείτε πιο κάτω.. τη λύση που έδωσα... Όμοια διαδικασία και για την αντίστροφη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Γνωστή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Μάιος 29, 2015 10:19 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R \to R για την οποία ισχύει: \displaystyle{f'(x)=\frac{2}{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}}} με
f(0)=0

1) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα

2) Να βρείτε την εφαπτομένη της C_f στο x_0=0 και να δείξετε ότι ln|2x|<|f(x)|<|x|

3) Nα βρείτε τον τύπο της και την αντίστροφη συνάρτηση

4) Να βρείτε τo \displaystyle{\lim_{x \tp +\infty}\int_{2^x}^{2^{x+1}}{\frac{f(t)}{t}dt}}
Όλα μέχρι στιγμής τα ερωτήματα στα φετινά θέματα μου ήταν γνωστά (από τα φροντιστηριακά βιβλία κυρίως ), εκτός από την εκφώνηση στο Δ1. Αφού ο

συνάδελφος erxmer -τον οποίο δημόσια συγχαίρω - είχε ήδη δημοσιεύσει αυτή τη διαφορική(την είχα στις σημειώσεις μου αλλά δεν πρόλαβα να την κάνω) , τότε

δίκαια φαίνεται πως υποστηρίζουν αρκετοί για τόσα χρόνια ότι τα θέματα (όπως και άλλων ετών, όχι όλων ευτυχώς) είναι θέματα διαπλοκής και συμφερόντων !

Όλα λοιπόν όσα γράψαμε στο Στείλλε Μήνυμα στην ΚΕΓΕ

(viewtopic.php?f=6&t=1183&hilit=%CE%A3%C ... E%93%CE%95)

πήγαν ...περίπατο ! Φαίνεται πως ποτέ δεν θα πάμε μπροστά σε αυτό τον τόπο κι αυτό είναι πολύ κρίμα για τις νέες γενιές που τις χρεώσανε για αιώνες οι παλιότερες!!!

Σε γνωστούς δρόμους ήταν και τα θέματα 2011 -2014 αλλά αυτούσια δεν τα είχαμε συναντήσει στις σημειώσεις μας. Ίδια διαφορική στον βασικό κορμό

θέματος μάλλον πρώτη φορά βλέπουμε.


Μπάμπης


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2653
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Γνωστή

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Μάιος 29, 2015 10:41 pm

dr.tasos έγραψε:Τόλη έχεις φάουλ εκεί με την διακρίνουσα , πρέπει να γίνει με συμπλήρωση τετραγώνου .
Καλησπέρα!

Μου κάνει εντύπωση που επανέρχεται το ίδιο θέμα για την ορθότητα της χρήσης της διακρίνουσας ή όχι. :)

Απλά ένα σχόλιο ήθελα να κάνω, διότι ενώ πίστευα ότι το είχαμε κλείσει το θέμα το 2010, επανέρχεται ξανά και ξανά! :)

(δείτε ένα συνοπτικό μήνυμα του Αλέξανδρου εδώ)

Όσο δε στοιχίζει μονάδες σε υποψηφίους, δεν έχω πρόβλημα να πείσω κανένα.

Απλά, έφτασε στα αυτιά μου ότι σε βαθμολογικό έγινε πάλι παρόμοια συζήτηση και απέκλειε τη χρήση διακρίνουσας ως εξ ορισμού λανθασμένη. :(

Κρίμα!

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Παρ Μάιος 29, 2015 10:54 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Γνωστή

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Μάιος 29, 2015 10:54 pm

Αχιλλέα , και σε εμάς έγινε ειδική αναφορά , ώστε οι συνάδελφοι, νέοι και παλιοί, να μην παραπλανηθούν από το γεγονός ότι ο τύπος μιας συνάρτησης δεν προκύπτει με ασφάλεια με παραγοντοποίηση, εκτός κι αν υπάρχουν επιπλέον στοιχεία.

Μερικοί νομίζουν ότι αυτό δεν ισχύει ποτέ και αντιδρούν μέχρι να δουν τα επιχειρήματα. Ελπίζω ότι η ολοκληρωμένη λύση με διακρίνουσα να μην ξεφύγει από κανέναν και διαγραφεί ως λανθασμένη.

Μπ


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Μάιος 30, 2015 12:51 am

Αχιλλέα εύχομαι αυτό που άκουσες να είναι ράδιο αρβύλα και ελπίζω όλοι οι συνάδελφοι που διορθώνουν να κοιτάξουν την παραπάνω συζήτηση στην οποία παραπέμπεις. Μόνο ωφελημένοι μπορούν να βγουν και θα ξεκαθαρίσουν με τις πάμπολλες επεμβάσεις εξαιρετικών ανθρώπων του mathematica το θέμα με τη διακρίνουσα.

Σε κάθε περίπτωση ένα είναι το σίγουρο: Η λύση του ερωτήματος Δ1 με χρήση της διακρίνουσας είναι ΑΠΟΛΥΤΑ ΟΡΘΗ μέθοδος!.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Re: Γνωστή

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Atemlos » Σάβ Μάιος 30, 2015 1:00 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Φαίνεται πως ποτέ δεν θα πάμε μπροστά σε αυτό τον τόπο κι αυτό είναι πολύ κρίμα για τις νέες γενιές που τις χρεώσανε για αιώνες οι παλιότερες!!!
Σας τιμά αυτή η παραδοχή... :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες