Επαναληπτική.

Σταμ. Γλάρος · #1

Καλησπέρα !
Μια άσκηση με πολλά ερωτήματα, στηριγμένη σε άσκηση του σχολικού.
Μάλλον για θέμα Β. Ελπίζω να βοηθήσει τα παιδιά που δίνουν πανελλήνιες.
Εύχομαι ολόψυχα καλή επιτυχία !

Έστω η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{lnx}{x}$ .

1. Να βρεθεί η εφαπτομένη της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από το σημείο A(0,-1)

.
2. Να μελετήσετε την

ως προς την μονοτονία - ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της

.
3. Να μελετήσετε την

ως προς την κυρτότητα - σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f}$ .
4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_{f}$ , την εφαπτομένη του 1ου ερωτήματος και την ευθεία x=e

.
5. Να βρεθεί το εμβαδόν E(t)

του χωρίου, που περικλείεται από την $C_{f}$ , τον άξονα xx'

και την ευθεία x=t

, με

και $t\neq 1$ .
Στη συνέχεια να υπολογίσετε το $\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,E(t)$
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Καλημέρα Σταμάτη . Το ερώτημα με την αντίστροφη (Όπως στις επαναληπτικές του 14 )

6. i) Να αποδείξετε ότι αν η $\displaystyle{f}$ οριστεί στο $\displaystyle{(0,e]}$ , τότε αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης .
ii) Για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A(x\,\,,{{f}^{-1}}(x))}$ , $\displaystyle{B({{f}^{-1}}(x)\,\,,\,\,x)}$ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $\displaystyle{{{f}^{-1}},\,\,\,\,f}$ , αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι, για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα, είναι ίσο με $\displaystyle{1}$
iii) Να βρείτε για ποια τιμή του $\displaystyle{x \in R}$ η απόσταση των σημείων $\displaystyle{A,B}$ γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους.

#3

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 08, 2016 9:41 pm
Έστω η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{lnx}{x}$ .
1. Να βρεθεί η εφαπτομένη της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από το σημείο .
2. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία - ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
3. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα - σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f}$ .
4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_{f}$ , την εφαπτομένη του 1ου ερωτήματος και την ευθεία .
5. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την $C_{f}$ , τον άξονα και την ευθεία , με και $t\neq 1$ .
Στη συνέχεια να υπολογίσετε το $\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,E(t)$

Ξέμεινε και είναι ενδιαφέρουσα
Με τους χαιρετισμούς μου στο Σταμάτη :

1. Η $\displaystyle f$ ορίζεται στο $\displaystyle (0,+\infty )$ και είναι παραγωγίσιμη σ΄ αυτό με $\displaystyle {f}'(x)=\frac{1-lnx}{{{x}^{2}}}$
Έστω $\displaystyle B(a,f(a)),\,\,a>0$ τυχαίο σημείο της $C_{f}$ . Η εφαπτόμενη στο $\displaystyle B$ έχει εξίσωση : $\displaystyle y-\frac{\ln a}{a}=\frac{1-\ln a}{{{a}^{2}}}(x-a)$
Αυτή διέρχεται από το A(0,-1)

, επομένως : $\displaystyle -1-\frac{\ln a}{a}=\frac{1-\ln a}{{{a}^{2}}}(-a)\Leftrightarrow \frac{a+\ln a}{a}=\frac{1-\ln a}{a}\Leftrightarrow a=1$
Άρα η εφαπτόμενη στο $\displaystyle B(1,0)$ έχει εξίσωση $\displaystyle y=x-1$
2. $\displaystyle {f}'(x)=\frac{1-lnx}{{{x}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow x\le e$ . Επομένως η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (0,e]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle [e,+\infty )$ .
Επομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $\displaystyle x=e$ , ίσο με $\displaystyle f(e)=\frac{1}{e}$
Ακόμα : $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \ln x\frac{1}{x} \right)=(-\infty )(+\infty )=-\infty$ και $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{x} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}}{(x{)}'}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0$
Αν $\displaystyle x\in (0,e]$ τότε $\displaystyle f(x)\in \left( -\infty \right.,\left. \frac{1}{e} \right]$ και αν $\displaystyle x\in (e,+\infty )$ τότε $\displaystyle f(x)\in \left( \frac{1}{e},0 \right)$
Άρα το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle \left( -\infty \right.,\left. \frac{1}{e} \right]\cup \left( \frac{1}{e},0 \right)=\left( -\infty \right.,\left. \frac{1}{e} \right]$
3. $\displaystyle {f}''(x)={{\left( \frac{1-lnx}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=$ $\displaystyle \frac{2\ln x-3}{{{x}^{3}}},\,\,x>0$ και $\displaystyle {f}''(x)>0\Leftrightarrow 2\ln x-3>0\Leftrightarrow x>\sqrt{{{e}^{3}}}$ .
Επομένως η $\displaystyle f$ είναι κοίλη αν $\displaystyle x<\sqrt{{{e}^{3}}}$ και κυρτή αν $\displaystyle x>\sqrt{{{e}^{3}}}$ . Άρα το $\displaystyle E\left( \sqrt{{{e}^{3}}},\frac{3}{2\sqrt{{{e}^{3}}}} \right)$ είναι σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
Επειδή $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$ , η ευθεία $\displaystyle x=0$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και
επειδή $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ , η ευθεία $\displaystyle y=0$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
4. Επειδή για $\displaystyle x\in [1,e]\Rightarrow {f}''(x)\le 0$ , οπότε η $\displaystyle f$ είναι κοίλη , η εφαπτομένη είναι πάνω απ΄τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ , άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :
$\displaystyle \begin{array}{l} E = \int_1^e {\left( {x - 1 - \frac{{\ln x}}{x}\,} \right)\,} dx = \int_1^e {(x - 1) - \,\,} \frac{1}{2}\int_1^e {2\ln x\frac{1}{x}\,\,} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right]_1^e - \frac{1}{2}\left[ {{{(\ln x)}^2}} \right]_1^e = \\ = \frac{{{e^2}}}{2} - e + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{{{e^2}}}{2} - e \end{array}$
5. Αν $\displaystyle t>1$ τότε επειδή η $\displaystyle {{C}_{f}}$ τέμνει τον $\displaystyle {x}'x$ μόνο για $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle f(x)\ge 0$ , θα είναι:
$E(t)=\int_{1}^{t}{\frac{\ln x}{x}\,}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{t}{2\ln x\frac{1}{x}\,\,}dx=\frac{1}{2}\left[ {{(\ln x)}^{2}} \right]_{1}^{t}=\frac{1}{2}{{(\ln t)}^{2}}$
Αν $\displaystyle 0<t<1$ τότε επειδή η $\displaystyle {{C}_{f}}$ τέμνει τον $\displaystyle {x}'x$ μόνο για $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle f(x)\le 0$ , θα είναι:
$E(t)=-\int_{t}^{1}{\frac{\ln x}{x}\,}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{t}{2\ln x\frac{1}{x}\,\,}dx=\frac{1}{2}\left[ {{(\ln x)}^{2}} \right]_{1}^{t}=\frac{1}{2}{{(\ln t)}^{2}}$ . Άρα $\displaystyle \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,E(t)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2}{{(\ln t)}^{2}} \right]=+\infty$

...μένει το πρόσθετο ερώτημα

Σταμ. Γλάρος · #4

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 11:55 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 08, 2016 9:41 pm
Έστω η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{lnx}{x}$ .
1. Να βρεθεί η εφαπτομένη της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από το σημείο .
2. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία - ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
3. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα - σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f}$ .
4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_{f}$ , την εφαπτομένη του 1ου ερωτήματος και την ευθεία .
5. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την $C_{f}$ , τον άξονα και την ευθεία , με και $t\neq 1$ .
Στη συνέχεια να υπολογίσετε το $\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,E(t)$
Ξέμεινε και είναι ενδιαφέρουσα
Με τους χαιρετισμούς μου στο Σταμάτη :

1. Η $\displaystyle f$ ορίζεται στο $\displaystyle (0,+\infty )$ και είναι παραγωγίσιμη σ΄ αυτό με $\displaystyle {f}'(x)=\frac{1-lnx}{{{x}^{2}}}$
Έστω $\displaystyle B(a,f(a)),\,\,a>0$ τυχαίο σημείο της $C_{f}$ . Η εφαπτόμενη στο $\displaystyle B$ έχει εξίσωση : $\displaystyle y-\frac{\ln a}{a}=\frac{1-\ln a}{{{a}^{2}}}(x-a)$
Αυτή διέρχεται από το , επομένως : $\displaystyle -1-\frac{\ln a}{a}=\frac{1-\ln a}{{{a}^{2}}}(-a)\Leftrightarrow \frac{a+\ln a}{a}=\frac{1-\ln a}{a}\Leftrightarrow a=1$
Άρα η εφαπτόμενη στο $\displaystyle B(1,0)$ έχει εξίσωση $\displaystyle y=x-1$
2. $\displaystyle {f}'(x)=\frac{1-lnx}{{{x}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow x\le e$ . Επομένως η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (0,e]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle [e,+\infty )$ .
Επομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $\displaystyle x=e$ , ίσο με $\displaystyle f(e)=\frac{1}{e}$
Ακόμα : $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \ln x\frac{1}{x} \right)=(-\infty )(+\infty )=-\infty$ και $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\ln x}{x} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}}{(x{)}'}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0$
Αν $\displaystyle x\in (0,e]$ τότε $\displaystyle f(x)\in \left( -\infty \right.,\left. \frac{1}{e} \right]$ και αν $\displaystyle x\in (e,+\infty )$ τότε $\displaystyle f(x)\in \left( \frac{1}{e},0 \right)$
Άρα το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle \left( -\infty \right.,\left. \frac{1}{e} \right]\cup \left( \frac{1}{e},0 \right)=\left( -\infty \right.,\left. \frac{1}{e} \right]$
3. $\displaystyle {f}''(x)={{\left( \frac{1-lnx}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=$ $\displaystyle \frac{2\ln x-3}{{{x}^{3}}},\,\,x>0$ και $\displaystyle {f}''(x)>0\Leftrightarrow 2\ln x-3>0\Leftrightarrow x>\sqrt{{{e}^{3}}}$ .
Επομένως η $\displaystyle f$ είναι κοίλη αν $\displaystyle x<\sqrt{{{e}^{3}}}$ και κυρτή αν $\displaystyle x>\sqrt{{{e}^{3}}}$ . Άρα το $\displaystyle E\left( \sqrt{{{e}^{3}}},\frac{3}{2\sqrt{{{e}^{3}}}} \right)$ είναι σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
Επειδή $\displaystyle \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$ , η ευθεία $\displaystyle x=0$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και
επειδή $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ , η ευθεία $\displaystyle y=0$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
4. Επειδή για $\displaystyle x\in [1,e]\Rightarrow {f}''(x)\le 0$ , οπότε η $\displaystyle f$ είναι κοίλη , η εφαπτομένη είναι πάνω απ΄τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ , άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :
$\displaystyle \begin{array}{l} E = \int_1^e {\left( {x - 1 - \frac{{\ln x}}{x}\,} \right)\,} dx = \int_1^e {(x - 1) - \,\,} \frac{1}{2}\int_1^e {2\ln x\frac{1}{x}\,\,} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right]_1^e - \frac{1}{2}\left[ {{{(\ln x)}^2}} \right]_1^e = \\ = \frac{{{e^2}}}{2} - e + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{{{e^2}}}{2} - e \end{array}$
5. Αν $\displaystyle t>1$ τότε επειδή η $\displaystyle {{C}_{f}}$ τέμνει τον $\displaystyle {x}'x$ μόνο για $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle f(x)\ge 0$ , θα είναι:
$E(t)=\int_{1}^{t}{\frac{\ln x}{x}\,}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{t}{2\ln x\frac{1}{x}\,\,}dx=\frac{1}{2}\left[ {{(\ln x)}^{2}} \right]_{1}^{t}=\frac{1}{2}{{(\ln t)}^{2}}$
Αν $\displaystyle 0<t<1$ τότε επειδή η $\displaystyle {{C}_{f}}$ τέμνει τον $\displaystyle {x}'x$ μόνο για $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle f(x)\le 0$ , θα είναι:
$E(t)=-\int_{t}^{1}{\frac{\ln x}{x}\,}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{t}{2\ln x\frac{1}{x}\,\,}dx=\frac{1}{2}\left[ {{(\ln x)}^{2}} \right]_{1}^{t}=\frac{1}{2}{{(\ln t)}^{2}}$ . Άρα $\displaystyle \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,E(t)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2}{{(\ln t)}^{2}} \right]=+\infty$

...μένει το πρόσθετο ερώτημα

Γιώργη καλησπέρα.
Συνεχίζω ...
i) Όπως απέδειξε ο Γιώργης παραπάνω

: γνησίως αύξουσα στο (0,e]

, άρα και 1-1.
Συνεπώς υπάρχει η $f^{-1}$ .
Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}}f(x)=-\infty$ και $f(e)=\dfrac{1}{e}$ .
Επίσης

: συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0,e]

.
Άρα $f\left ( (0,e] \right )=\left ( -\infty ,\dfrac{1}{e} \right ]$ , οπότε $D_{f^{-1}}=\left ( -\infty ,\dfrac{1}{e} \right ]$ .

ii) Θέτω $f^{-1}(x)=t$ $\Rightarrow$ x=f(t)

με $x\in\left ( -\infty ,\dfrac{1}{e} \right ]$ . Άρα B(t,f(t))

και

.
Επομένως έχουμε $f^{-1}\left ( f(t) \right )=t$ .
Παραγωγίζοντας την παραπάνω προκύπτει $\left (f^{-1} \right )'\left ( f(t) \right )\cdot f'(t) =1$ $\Leftrightarrow$ $\left (f^{-1} \right )'\left ( x \right )\cdot f'(t) =1$ .

iii) Εύκολα βρίσκουμε ότι η ευθεία $(\varepsilon ):y=x-1$ είναι η εφαπτομένη της C_f

στο

.
Από την ii) προκύπτει $\left (f^{-1} \right )' \left (0 \right )\cdot f'(1) =1$ . Άρα $\left (f^{-1} \right )' \left ( 0 \right ) =1$ .
Συνεπώς η ευθεία $(\eta ): y=x+1$ είναι η εφαπτομένη της $C_{f^{-1}}$ στο A(0,1)

.
Τώρα η

είναι κοίλη επομένως βρίσκεται κάτω από την $(\varepsilon )$ εκτός από το σημείο επαφής.
Επίσης η $C_{f^{-1}}$ είναι κυρτή επομένως βρίσκεται πάνω από την $(\eta )$ εκτός από το σημείο επαφής.
Επιπλέον οι ευθείες $(\varepsilon )$ , $(\eta)$ είναι παράλληλες.
Άρα τα "κοντινότερα" σημεία των δύο γραφικών παραστάσεων είναι τα B(0,1)

,

και η ελάχιστη απόσταση (AB)

είναι $\sqrt{2}$ .

: Επαναληπτική.png (159.33 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Επαναληπτική.

Επαναληπτική.

Re: Επαναληπτική.

Re: Επαναληπτική.

Re: Επαναληπτική.

Μέλη σε σύνδεση