Με φ

Λάμπρος Μπαλός · #1

Α) Να αποδείξετε ότι lnx<x-1

για κάθε

και στη συνέχεια ότι $(1+ \frac{1}{x})^{x}<e$ για x>1

Αλλαγή. Κάτι τρέχει με το σχήμα, δεν εμφανίζεται, δεν ξέρω.

Β) Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \frac{lnx}{e^{x}}$ , με $x \in (0, \pi]$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in (0, \pi)$ για το οποίο $f'(\xi)=0$ (Δίνεται ότι $\pi^{\sqrt{\pi}}>e^{2}$ ) . Στη συνέχεια να δείξετε ότι $\xi> \phi$ , όπου $\phi$ ο αριθμός της χρυσής τομής.

Γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων lnx

και $\frac{1}{x}$ και να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία $\omega$ των εφαπτομένων αυτών στο κοινό τους σημείο είναι μεγαλύτερη των

μοιρών και τέτοια ώστε $ln(tan \omega) < \frac{1}{\phi^{3}-1}$

#2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε και στη συνέχεια ότι $(1+ \frac{1}{x})^{x}<e$ για

...μια αντιμετώπιση για το Α...

Α) Θέλουμε να δείξουμε ότι lnx<x-1

για κάθε $x>1\Leftrightarrow x-1>0$ ή ισοδύναμα $\frac{\ln x}{x-1}<1,\,\,\,x>1$ .

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση $f(t)=\ln t,\,\,\,t\in [1,\,\,x],\,\,x>1$ και επειδή είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(t)=\frac{1}{t}$

σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \in (1,\,\,x)$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\Leftrightarrow \frac{1}{\xi }=\frac{\ln x}{x-1}$

και επειδή $\xi >1\Leftrightarrow \frac{1}{\xi }<1$ ισχύει ότι $\frac{\ln x}{x-1}<1,\,\,\,x>1$ που είναι αυτό που θέλαμε.

Επίσης από $(1+ \frac{1}{x})^{x}<e$ για x>1

ισοδύναμα

$ln{{(1+\frac{1}{x})}^{x}}<\ln e\Leftrightarrow xln(1+\frac{1}{x})<1\Leftrightarrow ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}$ για x>1

πού ισχύει λόγω του προηγουμένου με όπου

το $1+\frac{1}{x}>1$ .

...για την συνέχεια ας επέμβει ο δημιουργός στο σχήμα που δεν φαίνεται...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταμ. Γλάρος · #3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε και στη συνέχεια ότι $(1+ \frac{1}{x})^{x}<e$ για

Αλλαγή. Κάτι τρέχει με το σχήμα, δεν εμφανίζεται, δεν ξέρω.

Β) Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \frac{lnx}{e^{x}}$ , με $x \in (0, \pi]$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in (0, \pi)$ για το οποίο $f'(\xi)=0$ (Δίνεται ότι $\pi^{\sqrt{\pi}}>e^{2}$ ) . Στη συνέχεια να δείξετε ότι $\xi> \phi$ , όπου $\phi$ ο αριθμός της χρυσής τομής.

Γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και $\frac{1}{x}$ και να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία $\omega$ των εφαπτομένων αυτών στο κοινό τους σημείο είναι μεγαλύτερη των μοιρών και τέτοια ώστε $ln(tan \omega) < \frac{1}{\phi^{3}-1}$

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα...
Μια προσπάθεια για το Β.
Είναι $f'(x)=\dfrac{1-xlnx}{xe^x}=\dfrac{g(x)}{xe^x} .$ Θεωρώ g(x)=1-xlnx

με

Εφαρμόζοντας Θ.Bolzano στην

στο

προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της

στο

Δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left ( 1,e \right )\subset (0,\pi ):g(\xi )=0 \Leftrightarrow f'(\xi)=0.$

Μελετώντας το πρόσημο της

(πινακάκι κατά τα γνωστά) έχουμε :

γνησίως αύξουσα στο $(0,\frac{1}{e})$ και επειδή $\lim_{x\rightarrow 0^+}(1-xlnx)=1$
(εύκολα με De' L Hospital προκύπτει $\lim_{x\rightarrow 0^+}(xlnx)=0$ ) συμπεραίνουμε $g((0,\frac{1}{e}])$ \displaystyle{= (1,1+ \frac{1}{e} ]. Ομοίως

g

[\frac{1}{e},\pi] συμπεραίνουμε

g([\frac{1}{e},\pi])} $= (g(\pi),1+ \frac{1}{e} ],$ με $g(\pi)<g(e)<0.$
Συνεπώς η ρίζα $\xi$ είναι μοναδική στο $(0,\pi )$ και μάλιστα βρίσκεται στο $(\frac{1}{e},\pi).$

Τώρα πρέπει να δείξω ότι $\xi >\phi$ ή αφού

: γνησίως φθίνουσα στο $[\frac{1}{e},\pi ]$ αρκεί
$g(\phi)>g(\xi)=0.$ Είναι $g(\phi )=1-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot ln\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Από προηγούμενο ερώτημα ο Βασίλης απέδειξε $\left ( 1+\dfrac{1}{x} \right )^x<e\Leftrightarrow xln\left (1+\dfrac{1}{x} \right )<1.$

Για $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ έχουμε
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot ln\left ( 1+\dfrac{2}{1+\sqrt{5}} \right )<1\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot ln\left ( \dfrac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right )<1\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot ln\left ( \dfrac{(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)} \right )<1\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot ln\left ( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right )<1$ .

Άρα απεδείχθη $g(\phi)>0.$
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: Β) Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \frac{lnx}{e^{x}}$ , με $x \in (0, \pi]$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in (0, \pi)$ για το οποίο $f'(\xi)=0$ (Δίνεται ότι $\pi^{\sqrt{\pi}}>e^{2}$ ) . Στη συνέχεια να δείξετε ότι $\xi> \phi$ , όπου $\phi$ ο αριθμός της χρυσής τομής.

Λίγο πιο σύντομα το Β.

Είναι $\displaystyle{f'(x)=e^{-x}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right).}$

Άρα $\displaystyle{f'(x)=0\iff \frac{1}{x}-\ln x=0.}$

Όπως και παραπάνω έχει ρίζα $\displaystyle{\xi}$ στο $\displaystyle{(1,e).}$

Είναι $\displaystyle{\frac{1}{\xi}=\ln \xi \implies \frac{1}{\xi}< \xi -1\implies \xi ^2-\xi -1>0\implies \xi >\phi.}$

Λάμπρος Μπαλός · #5

Η λύση μου στο β ερώτημα είναι ουσιαστικά η ίδια με του Θάνου.
Λόγω του α ερωτήματος θα είναι

$(1+ \frac{1}{ \phi})^{\phi}<e \Leftrightarrow \phi^{\phi}<e \Leftrightarrow \phi ln \phi<1 \Leftrightarrow ln\phi < \frac{1}{\phi}$

Με φ

Με φ

Re: Με φ

Re: Με φ

Re: Με φ

Re: Με φ

Μέλη σε σύνδεση