Xmas

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Xmas

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τετ Δεκ 28, 2016 1:07 am

Δίνεται η συνάρτηση με f: R \to R με τύπο \displaystyle{f(x)=\frac{3x^2}{e^x}}.

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3x^2=ae^x, a \in R

Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση g: R \to R ώστε \displaystyle{|g(x)-2x+4| \leq f(x), x \in R}

i) Nα βρεθεί η ασύμπτωτη της C_g στο +\infty

ii) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)ln(e^x-1)+x^2g(x)-2x^3}{x^2-x}}

iii) Aν E το εμβαδό μεταξύ της C_g, της ασύμπτωτης, της x=1 και το άξονα yy' τότε \displaystyle{E \leq 6-\frac{15}{e}}



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Xmas

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Δεκ 28, 2016 11:07 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με f: R \to R με τύπο \displaystyle{f(x)=\frac{3x^2}{e^x}}.

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3x^2=ae^x, a \in R

Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση g: R \to R ώστε \displaystyle{|g(x)-2x+4| \leq f(x), x \in R}

i) Nα βρεθεί η ασύμπτωτη της C_g στο +\infty

ii) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)ln(e^x-1)+x^2g(x)-2x^3}{x^2-x}}

iii) Aν E το εμβαδό μεταξύ της C_g, της ασύμπτωτης, της x=1 και το άξονα yy' τότε \displaystyle{E \leq 6-\frac{15}{e}}
...Καλησπέρα :santalogo: και Χρόνια Πόλλά ....

1) Είναι {f}'(x)=3\frac{-{{x}^{2}}+2x}{{{e}^{x}}}=3\frac{x(2-x)}{{{e}^{x}}} οπότε {f}'(x)>0\Leftrightarrow x<0,\,\,x>2 που σημαίνει ότι

f γνήσια φθίνουσα στα {{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,0],\,\,{{\Delta }_{3}}=[2,\,\,+\infty ) και {f}'(x)<0\Leftrightarrow 0<x<2

που σημαίνει ότι f γνήσια αύξουσα στο {{\Delta }_{2}}=[0,\,\,2]

2) Είναι 3x^2=ae^x, a \in R ισοδύναμα με \frac{3{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}}=a\Leftrightarrow f(x)=a\in R Σύμφωνα με το (1) έχουμε ότι

f({{\Delta }_{1}})=[f(0),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)),\,\,f({{\Delta }_{3}})=(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,f(2)]

και επειδή \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}}=3\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{e}^{x}}}{{x}^{2}} \right)=+\infty και f(0)=0 και

f(2)=\frac{12}{{{e}^{2}}} και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{+\infty }{+\infty }}{\mathop{=}}}\,3\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2x}{{{e}^{x}}} \right)\underset{DLH}{\overset{\frac{+\infty }{+\infty }}{\mathop{=}}}\,3\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{{{e}^{x}}} \right)=0

είναι f({{\Delta }_{1}})=[0,\,\,+\infty ),\,\,f({{\Delta }_{3}})=(0,\,\,\frac{12}{{{e}^{2}}}] και f({{\Delta }_{2}})=[0,\,\,\frac{12}{{{e}^{2}}}] επομένως σύμφωνα με αυτά αν

a<0 η εξίσωση f(x)=a είναι αδύνατη αν

a=0 η εξίσωση f(x)=0\Leftrightarrow x=0 αν

0<a<\frac{12}{{{e}^{2}}} η εξίσωση f(x)=a έχει τρείς ακριβώς ρίζες {{x}_{1}}\in (-\infty ,\,0),\,\,\,{{x}_{2}}\in (0,\,\,2),\,\,\,{{x}_{3}}\in (2,\,\,+\infty ) αν

a=\frac{12}{{{e}^{2}}} η εξίσωση f(x)=a έχει δύο ακριβώς ρίζες {{x}_{1}}\in (-\infty ,\,0),\,\,\,{{x}_{2}}=2 και αν

a>\frac{12}{{{e}^{2}}} η εξίσωση f(x)=a έχει ακριβώς μία ρίζα {{x}_{1}}\in (-\infty ,\,0)

i) Από \displaystyle{|g(x)-2x+4| \leq f(x), x \in R} έχουμε ισοδύναμα -f(x)\le g(x)-2x+4\le f(x),\,\,\,x\in R και επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0 σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(g(x)-2x+4)=0

επομένως η ευθεία y=2x-4 είναι ασύμπτωτη της g στο +\infty

ii) Είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)ln({{e}^{x}}-1)+{{x}^{2}}g(x)-2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{g(x)}{x}\frac{ln({{e}^{x}}-1)}{x}+g(x)-2x}{1-\frac{1}{x}}=L

από (i) είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=2,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(g(x)-2x)=-4

και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ln({{e}^{x}}-1)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{+\infty }{+\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}}{1}=1 άρα L=-2

iii) Το εμβαδό είναι E=\int\limits_{0}^{1}{|g(x)-2x+4|dx} και λόγω υπόθεσης ισχύει ότι

E=\int\limits_{0}^{1}{|g(x)-2x+4|dx}\le \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=3\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}}dx}=-3\int\limits_{0}^{1}{({{e}^{-x}}{)}'{{x}^{2}}dx}=

-3\left[ {{e}^{-x}}{{x}^{2}} \right]_{0}^{1}+6\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}xdx}=-3(\frac{1}{e}-0)-6\left[ {{e}^{-x}}x \right]_{0}^{1}+6\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}dx}=

-\frac{3}{e}-\frac{6}{e}-6\left[ {{e}^{-x}} \right]_{0}^{1}=6-\frac{15}{e}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης