ΑΣΚΗΣΗ

Matteo · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

$\bullet f(1)=6$

$\bullet$ $\displaystyle{\int_1^2 \! xf\prime(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^2 \! (3-x)(x^2+2) \, \mathrm{d}x - \int_1^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x}$

1. Να αποδείξετε ότι f(2)=9

.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0}\in(1,2)$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})=8$ .
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_{1}, \xi_{2}\in(1,2)$ , με $\xi_{1}<\xi_{2}$ τέτοια ώστε: $\frac{2}{f\prime(\xi_{1})} + \frac{1}{f\prime(\xi_{2})}=1$ .
4. Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι f(4)+f(5)=f(6)+f(7)

τότε να δείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(4,7)$ τέτοιο, ώστε $f\prime(\xi)=0$ .

**Δεν μπορώ να λύσω το 4ο ερώτημα. Προσπάθησα Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. αλλά δεν έβγαλα το ζητούμενο. Ευχαριστώ.

#2

Matteo έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

$\bullet f(1)=6$

$\bullet$ $\displaystyle{\int_1^2 \! xf\prime(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^2 \! (3-x)(x^2+2) \, \mathrm{d}x - \int_1^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x}$

1. Να αποδείξετε ότι .
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0}\in(1,2)$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})=8$ .
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_{1}, \xi_{2}\in(1,2)$ , με $\xi_{1}<\xi_{2}$ τέτοια ώστε: $\frac{2}{f\prime(\xi_{1})} + \frac{1}{f\prime(\xi_{2})}=1$ .
4. Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι τότε να δείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(4,7)$ τέτοιο, ώστε $f\prime(\xi)=0$ .

**Δεν μπορώ να λύσω το 4ο ερώτημα. Προσπάθησα Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. αλλά δεν έβγαλα το ζητούμενο. Ευχαριστώ.

Δοκίμασε Bolzano στο $\displaystyle{[{\xi _1},{\xi _2}]}$ με $\displaystyle{f'({\xi _1}) = \frac{{f(4) - f(6)}}{2}}$ , $\displaystyle{f'({\xi _2}) = \frac{{f(7) - f(5)}}{2}}$ , κλπ

Matteo · #3

Μήπως εννοείτε; Ευχαριστώ.

george visvikis έγραψε:
Matteo έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

$\bullet f(1)=6$

$\bullet$ $\displaystyle{\int_1^2 \! xf\prime(x) \, \mathrm{d}x=\int_0^2 \! (3-x)(x^2+2) \, \mathrm{d}x - \int_1^2 \! f(x) \, \mathrm{d}x}$

1. Να αποδείξετε ότι .
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0}\in(1,2)$ τέτοιο, ώστε $f(x_{0})=8$ .
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_{1}, \xi_{2}\in(1,2)$ , με $\xi_{1}<\xi_{2}$ τέτοια ώστε: $\frac{2}{f\prime(\xi_{1})} + \frac{1}{f\prime(\xi_{2})}=1$ .
4. Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι τότε να δείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(4,7)$ τέτοιο, ώστε $f\prime(\xi)=0$ .

**Δεν μπορώ να λύσω το 4ο ερώτημα. Προσπάθησα Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. αλλά δεν έβγαλα το ζητούμενο. Ευχαριστώ.
Δοκίμασε Bolzano στο $\displaystyle{[{\xi _1},{\xi _2}]}$ με $\displaystyle{f'({\xi _1}) = \frac{{f(6) - f(4)}}{2}}$ , $\displaystyle{f'({\xi _2}) = \frac{{f(7) - f(5)}}{2}}$ , κλπ

#4

Ακριβώς αυτό. Ήθελα να γράψω $\displaystyle{f'({\xi _1}) = - \frac{{f(4) - f(6)}}{2}}$ , αλλά ξέχασα το πρόσημο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Διαφορετικά χωρίς να χρειάζεται η συνέχεια της παραγώγου.

Επειδή το $\dfrac{f(4)+f(5)}{2}$ βρίσκετε ανάμεσα στα f(4),f(5)

από ΘΕΤ υπάρχει $c\in [4,5]$ με $f(c)=\dfrac{f(4)+f(5)}{2}$

Ομοια υπάρχει $d\in [6,7]$ με $f(d)=\dfrac{f(6)+f(7)}{2}$

Θεώρημα Rolle στο [c,d]

μας δίνει το ζητούμενο.

ΑΣΚΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση