Flat

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Flat

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Φεβ 05, 2017 3:53 pm

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με f(x) \neq 0 για κάθε x>0 και f'(1)=0.

Αν για κάθε x>0, για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση \displaystyle{x^2f'(x)=f(x)-lnx^{f(x)}}, τότε να αποδείξετε ότι:

1) f(x)>0, x>0

2) Υπάρχει x_0 \in (1,e) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
(x_0,f(x_0)) να διέρχεται από το σημείο Β(-1,0).

3) Αφού βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

4) Αν a>e^e, να αποδείξετε ότι \displaystyle{(lna)^{\frac{1}{lna}}>(ln(a+1))^{\frac{1}{ln(a+1)}}}.

5) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x=x^3 έχει ακριβώς δυο λύσεις στο [0,3], τις x_1,x_2 με x_1>x_2 και x_2 \in (2,e).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 893
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Flat

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Φεβ 05, 2017 4:31 pm

Κάτι δεν πάει καλά. Δίνεις ότι ισχύει f\neq 0 για κάθε x>0 αλλά για x=1 στην δοθείσα σχέση είναι f(1)=0. Κάτι δεν βλέπω;


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Flat

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 05, 2017 7:39 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με f(x) \neq 0 για κάθε x>0 και f'(1)=0.

Αν για κάθε x>0, για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση \displaystyle{x^2f'(x)=f(x)-lnx^{f(x)}}, τότε να αποδείξετε ότι:

1) f(x)>0, x>0

2) Υπάρχει x_0 \in (1,e) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
(x_0,f(x_0)) να διέρχεται από το σημείο Β(-1,0).

3) Αφού βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

4) Αν a>e^e, να αποδείξετε ότι \displaystyle{(lna)^{\frac{1}{lna}}>(ln(a+1))^{\frac{1}{ln(a+1)}}}.

5) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x=x^3 έχει ακριβώς δυο λύσεις στο [0,3], τις x_1,x_2 με x_1>x_2 και x_2 \in (2,e).
Θα λύσω την διαφορική ώστε να μπουν τα πράγματα σε μία τάξη.(Μας διαβάζουν και μαθητές αλλά......)

Η διαφορική γράφετε x^{2}f'(x)-f(x)(1-lnx)=0

Επειδή (\dfrac{lnx}{x})'=\dfrac{1-lnx}{x^{2}}

γίνετε f'(x)+f(x)(-\dfrac{lnx}{x})'=0

που δίνει ότι f(x)=cexp(\dfrac{lnx}{x})=cx^{\frac{1}{x}}

Το πρόβλημα είναι η f'(1)=0.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 893
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Flat

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Φεβ 05, 2017 9:16 pm

Συμφωνώ πρέπει να γίνει αλλαγή σε f'(1)=1. Μετά τα πράγματα ρέουν κανονικά και μεθοδολογικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Flat

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Δευ Φεβ 06, 2017 9:43 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με f(x) \neq 0 για κάθε x>0 και f'(1)=1.

Αν για κάθε x>0, για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση \displaystyle{x^2f'(x)=f(x)-lnx^{f(x)}}, τότε να αποδείξετε ότι:

1) f(x)>0, x>0

2) Υπάρχει x_0 \in (1,e) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
(x_0,f(x_0)) να διέρχεται από το σημείο Β(-1,0).

3) Αφού βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

4) Αν a>e^e, να αποδείξετε ότι \displaystyle{(lna)^{\frac{1}{lna}}>(ln(a+1))^{\frac{1}{ln(a+1)}}}.

5) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x=x^3 έχει ακριβώς δυο λύσεις στο [0,3], τις x_1,x_2 με x_1>x_2 και x_2 \in (2,e).
Μετά από κάμποσο παίδεμα, δημοσιεύω μια ολοκληρωμένη λύση (ελπίζω να μη μου διαφεύγει κάτι).

1) H \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(0,+\infty), άρα είναι και συνεχής. Όμως, σύμφωνα με την εκφώνηση, η \displaystyle{f} δεν μηδενίζεται, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο \displaystyle{(0,+\infty), διότι αν άλλαζε πρόσημο,τότε σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών θα υπήρχε θετικός αριθμός τέτοιος ώστε \displaystyle{f(x)=0}.
Θέτοντας όμως \displaystyle{x=1} στην αρχική σχέση \displaystyle{f'(1)=f(1)-ln1 \Leftrightarrow f(1)=1>0}
άρα \displaystyle{f(x)>0} για κάθε \dislaystyle{x>0}.

2) Σε ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{A(a,f(a))}, με a \in (1,e)} της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, η εφαπτομένη της έχει εξίσωση:
\displaystyle{y-f(a)=f'(a)(x-a)}
Επομένως, για να διέρχεται η εφαπτομένη από το σημείο \dislaystyle{K(-1,0)} αρκεί να υπάρχει a \in (1,e)} τέτοιο ώστε:
\displaystyle{0-f(a)=f'(a)(-1-a) \Leftrightarrow (a+1)f'(a)-f(a)=0}
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)=(x+1)f'(x)-f(x), x \in [1,e]}.
Η \diplaystyle{g} είναι συνεχής (πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων) και έχουμε:
\displaystyle{g(1)=2f'(1)-f(1)=2-1=1} και από την αρχική σχέση \displaystyle{e^2 f'(e)=f(e)-(lne^{f(e)}) \Leftrightarrow f'(e)=0}
οπότε: \displaystyle{g(e)=(e+1)f'(e)-f(e)=-f(e)<0} άρα:
\displaystyle{g(1)g(e)<0}. Σύμφωνα λοιπόν με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον \diaplaystyle{a \in (1,e) } τέτοιο ώστε:
\displaystyle{g(a)=0 \Leftrightarrow (a+1)f'(a)-f(a)=0} και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

3)Από την αρχική σχέση και αφού \displaystyle{f(x)>0} για κάθε \dislaystyle{x>0} έχουμε:
\displaystyle{x^2 f'(x)=f(x)(1-lnx) \Lefrtightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x^2}-\frac{lnx}{x^2} \Leftrightarrow (ln|f(x)|)'=\left ( \frac{lnx}{x} \right)' \Leftrightarrow lnf(x)=\frac{lnx}{x}+c , x>0}
Για \displaystyle{x=1} η παραπάνω δίνει \displaystyle{lnf(1)=c \Leftrightarrow c=0}.

Άρα \displaystyle{f(x)=e^{\frac{lnx}{x}} \Leftrightarrow \boxed{f(x)=\sqrt[x]{x},x>0}}

Παραγωγίζοντας έχουμε \displaystyle{f'(x)=(e^{\frac{lnx}{x}})'=\sqrt[x]{x} \left (\frac{1-lnx}{x^2} \right), x>0}
Η \displaystyle{f΄} είναι θετική στο \dispaystyle{(0,e]} και αρνητική στο \displaystyle{[e,+ \infty)}. Άρα, η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \dispaystyle{(0,e]} και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{[e,+ \infty)}. To \displaystyle{f(e)=\sqrt[e]{e}} είναι μέγιστο της \displaystyle{f}.

4) Έχουμε \dispaystyle{a+1>a>e^e>e \Leftrightarrow ln(a+1)>lna>e \Leftrightarrow f(ln(a+1))<f(lna) }, που είναι η ζητούμενη.

5)Η εξίσωση έχει στο \displaystyle{[0,3]} προφανή ρίζα τη \displaystyle{x_{1}=3}, που είναι μοναδική στο \displaystyle{[0,3]}, λόγω της μονοτονίας της \displaystyle{f} στο διάστημα αυτό. Για \displaystyle{x \in (0,3)} η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
\displaystyle{(3^x)^{\frac{1}{x}}=(x^3)^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow (x^{\frac{1}{x}})^3=3 \Leftrightarrow f(x)=f(3)}
Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει \displaystyle{x_{2} \in (2,e)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x_{2})=f(3)}.
Έχουμε: \displaystyle{3>e \Leftrightarrow f(3)<f(e)} και \displaystyle{8<9 \Leftrightarrow \sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{9} \Leftrightarrow  
2<3^{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow \sqrt{2}<\sqrt[3]{3} \Leftrightarrow f(2)<f(3)}. Άρα, είναι
\displaystyle{f(2)<f(3)<f(e)}. Αφού λοιπόν η \displaystyle{f} είναι συνεχής, σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει \displaystyle{x_{2} \in(2,e)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x_{2})=f(3)}, το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της \displaystyle{f} στο διάστημα αυτό. Έτσι, η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Τερζής Κωνσταντίνος


Carpe Diem
NikosB
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 11, 2016 1:14 am

Re: Flat

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από NikosB » Τετ Φεβ 08, 2017 7:05 pm

kostas232 έγραψε:
erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με f(x) \neq 0 για κάθε x>0 και f'(1)=1.

Αν για κάθε x>0, για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση \displaystyle{x^2f'(x)=f(x)-lnx^{f(x)}}, τότε να αποδείξετε ότι:

1) f(x)>0, x>0

2) Υπάρχει x_0 \in (1,e) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
(x_0,f(x_0)) να διέρχεται από το σημείο Β(-1,0).

3) Αφού βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

4) Αν a>e^e, να αποδείξετε ότι \displaystyle{(lna)^{\frac{1}{lna}}>(ln(a+1))^{\frac{1}{ln(a+1)}}}.

5) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x=x^3 έχει ακριβώς δυο λύσεις στο [0,3], τις x_1,x_2 με x_1>x_2 και x_2 \in (2,e).
Μετά από κάμποσο παίδεμα, δημοσιεύω μια ολοκληρωμένη λύση (ελπίζω να μη μου διαφεύγει κάτι).

1) H \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(0,+\infty), άρα είναι και συνεχής. Όμως, σύμφωνα με την εκφώνηση, η \displaystyle{f} δεν μηδενίζεται, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο \displaystyle{(0,+\infty), διότι αν άλλαζε πρόσημο,τότε σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών θα υπήρχε θετικός αριθμός τέτοιος ώστε \displaystyle{f(x)=0}.
Θέτοντας όμως \displaystyle{x=1} στην αρχική σχέση \displaystyle{f'(1)=f(1)-ln1 \Leftrightarrow f(1)=1>0}
άρα \displaystyle{f(x)>0} για κάθε \dislaystyle{x>0}.

2) Σε ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{A(a,f(a))}, με a \in (1,e)} της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, η εφαπτομένη της έχει εξίσωση:
\displaystyle{y-f(a)=f'(a)(x-a)}
Επομένως, για να διέρχεται η εφαπτομένη από το σημείο \dislaystyle{K(-1,0)} αρκεί να υπάρχει a \in (1,e)} τέτοιο ώστε:
\displaystyle{0-f(a)=f'(a)(-1-a) \Leftrightarrow (a+1)f'(a)-f(a)=0}
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x)=(x+1)f'(x)-f(x), x \in [1,e]}.
Η \diplaystyle{g} είναι συνεχής (πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων) και έχουμε:
\displaystyle{g(1)=2f'(1)-f(1)=2-1=1} και από την αρχική σχέση \displaystyle{e^2 f'(e)=f(e)-(lne^{f(e)}) \Leftrightarrow f'(e)=0}
οπότε: \displaystyle{g(e)=(e+1)f'(e)-f(e)=-f(e)<0} άρα:
\displaystyle{g(1)g(e)<0}. Σύμφωνα λοιπόν με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον \diaplaystyle{a \in (1,e) } τέτοιο ώστε:
\displaystyle{g(a)=0 \Leftrightarrow (a+1)f'(a)-f(a)=0} και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

3)Από την αρχική σχέση και αφού \displaystyle{f(x)>0} για κάθε \dislaystyle{x>0} έχουμε:
\displaystyle{x^2 f'(x)=f(x)(1-lnx) \Lefrtightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x^2}-\frac{lnx}{x^2} \Leftrightarrow (ln|f(x)|)'=\left ( \frac{lnx}{x} \right)' \Leftrightarrow lnf(x)=\frac{lnx}{x}+c , x>0}
Για \displaystyle{x=1} η παραπάνω δίνει \displaystyle{lnf(1)=c \Leftrightarrow c=0}.

Άρα \displaystyle{f(x)=e^{\frac{lnx}{x}} \Leftrightarrow \boxed{f(x)=\sqrt[x]{x},x>0}}

Παραγωγίζοντας έχουμε \displaystyle{f'(x)=(e^{\frac{lnx}{x}})'=\sqrt[x]{x} \left (\frac{1-lnx}{x^2} \right), x>0}
Η \displaystyle{f΄} είναι θετική στο \dispaystyle{(0,e]} και αρνητική στο \displaystyle{[e,+ \infty)}. Άρα, η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \dispaystyle{(0,e]} και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{[e,+ \infty)}. To \displaystyle{f(e)=\sqrt[e]{e}} είναι μέγιστο της \displaystyle{f}.

4) Έχουμε \dispaystyle{a+1>a>e^e>e \Leftrightarrow ln(a+1)>lna>e \Leftrightarrow f(ln(a+1))<f(lna) }, που είναι η ζητούμενη.

5)Η εξίσωση έχει στο \displaystyle{[0,3]} προφανή ρίζα τη \displaystyle{x_{1}=3}, που είναι μοναδική στο \displaystyle{[0,3]}, λόγω της μονοτονίας της \displaystyle{f} στο διάστημα αυτό. Για \displaystyle{x \in (0,3)} η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
\displaystyle{(3^x)^{\frac{1}{x}}=(x^3)^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow (x^{\frac{1}{x}})^3=3 \Leftrightarrow f(x)=f(3)}
Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει \displaystyle{x_{2} \in (2,e)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x_{2})=f(3)}.
Έχουμε: \displaystyle{3>e \Leftrightarrow f(3)<f(e)} και \displaystyle{8<9 \Leftrightarrow \sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{9} \Leftrightarrow  
2<3^{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow \sqrt{2}<\sqrt[3]{3} \Leftrightarrow f(2)<f(3)}. Άρα, είναι
\displaystyle{f(2)<f(3)<f(e)}. Αφού λοιπόν η \displaystyle{f} είναι συνεχής, σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει \displaystyle{x_{2} \in(2,e)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x_{2})=f(3)}, το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας της \displaystyle{f} στο διάστημα αυτό. Έτσι, η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Τερζής Κωνσταντίνος



Δεν κατάλαβα κάτι στο 4 ερώτημα γιατί
a+1> a> e^{a} > e
Δεν θα έπρεπε να ήταν a> e^{a}
;;;;;


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Flat

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Τετ Φεβ 08, 2017 9:23 pm

NikosB έγραψε:

Δεν κατάλαβα κάτι στο 4 ερώτημα γιατί
a+1> a> e^{a} > e
Δεν θα έπρεπε να ήταν a> e^{a}
;;;;;
Η εκφώνηση δηλώνει ότι \displaystyle{a>e^e}. Αυτό γίνεται για να μπορεί να εφαρμοστεί η μονοτονία της \displaystyle{f} στο \displaystyle{[e,+\infty)} για τον όρο \displaystyle{lna} (αφού \displaystyle{lna>e}.

Φιλικά,
Κ.Τ.


Carpe Diem
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης