Good

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=x^n\left ( lnx \right )^m, m,n \in N^*}$ .

1) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της

2) Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{x^nlnx=-\frac{1}{en^2}}$

3) Αν $\displaystyle{I(n,m)=\int_{1}^{e}f(x)dx}$ δείξτε οτι $\displaystyle{I(n,m)=\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{m}{n+1} I(n,m-1)}$ και να βρεθεί το I(3,2)

4) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{x^4\left ( lnx \right )^{2017}}{sin^3x}}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{x^{2018}\left ( lnx \right )^{2017}}{tanx}}$

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=x^n\left ( lnx \right )^m, m,n \in N^*}$ .

1) Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της

2) Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{x^nlnx=-\frac{1}{en^2}}$

3) Αν $\displaystyle{Ι(n,m)=\int_{1}^{e}f(x)dx}$ δείξτε οτι $\displaystyle{I(n,m)=\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{m}{n+1} I(n,m-1)}$ και να βρεθεί το

4) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{x^4\left ( lnx \right )^{2017}}{sin^3x}}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{x^{2018}\left ( lnx \right )^{2017}}{tanx}}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στην, πραγματικά, καλή...
1) Είναι $D_{f}=A=(0,+\infty).$
(α) Για $m,n\geq 2$ έχουμε $f'(x)=x^{n-1}(lnx)^{m-1}(nlnx+m).$
(β) Για $n=1, m\geq 2$ έχουμε $f'(x)=(lnx)^{m-1}(lnx+m).$
(γ) Για $m=1,n\geq 2$ έχουμε $f'(x)=x^{n-1}(nlnx+1).$
(δ) Για m=1,n=1

έχουμε

Τώρα διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:
i) Για

άρτιο, από την (α),(β) έχουμε : $f'(x)=x^{n-1}(lnx)^{m-2}lnx(nlnx+m).$
Άρα f'(x)=0

$\Leftrightarrow$ x=1

ή $x=e^{-\frac{m}{n}}$ .
f'(x)>0

$\Leftrightarrow$ $x^{n-1}(lnx)^{m-1}lnx(nlnx+m)>0$ $\Leftrightarrow$ \displaystyle{x\in \left ( 0,e^{-\frac{m}{n}} \right )\cup \left ( 1 ,+\infty \right )

f'(x)<0

\Leftrightarrow

x^{n-1}(lnx)^{m-1}lnx(nlnx+m)<0

\Leftrightarrow} $x\in \left ( e^{-\frac{m}{n}} ,1 \right )$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει:

γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,e^{-\frac{m}{n}} \right ]$ ,

γνησίως φθίνουσα στο $\left [e^{-\frac{m}{n}},1 \right ]$ και

γνησίως αύξουσα στο $\left [ 1 , +\infty \right )$ .

Τώρα υπολογίζουμε το $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^n\left ( lnx \right )^m=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(lnx)^m}{x^{-m}}$ . (Απροσδιόριστη μορφή $\dfrac{+\infty }{+\infty }$ , κανόνας de L' Hospital).
Άρα έχουμε:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m(lnx)^{m-1}\cdot \dfrac{1}{x}}{-nx^{-n-1}}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m(lnx)^{m-1}}{-nx^{-n}}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m(m-1)(lnx)^{m-2}\cdot \dfrac{1}{x}}{(-n)(-n)x^{-n-1}}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m(m-2)(lnx)^{m-1}}{(-n)^2x^{-n}}= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m(m-2)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}{(-n)^m}\cdot x^{n}=0.$

Επίσης εύκολα προκύπτει $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty ,\,\,$ $f(e^{-\frac{m}{n}})=e^{-m}\cdot (-\frac{m}{n})^m >0$ και f(1)=0.

Συνεπώς $f(A)=(0,+\infty ).$

ii)Για

περιττό, από την (α),(γ) και (δ) έχουμε : $f'(x)=x^{n-1}(lnx)^{m-1}(nlnx+m).$
Άρα f'(x)=0

$\Leftrightarrow$ x=1

ή $x^{-\frac{m}{n}}$ .
f'(x)<0

$\Leftrightarrow$ $x^{n-1}(lnx)^{m-1}lnx(nlnx+m)<0$ $\Leftrightarrow$ \displaystyle{x\in \left ( 0,e^{-\frac{m}{n}} \right )

f'(x)>0

\Leftrightarrow

x^{n-1}(lnx)^{m-1}lnx(nlnx+m)>0

\Leftrightarrow} $x\in \left ( e^{-\frac{m}{n}} , 1 \right )\cup \left ( 1 ,+\infty \right )$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει:

γνησίως φθίνουσα στο $\left ( 0,e^{-\frac{m}{n}} \right ]$ ,
και

γνησίως αύξουσα στο $\left [ e^{-\frac{m}{n}} , +\infty \right )$ , αφού είναι συνεχής.
Άρα ολικό ελάχιστο το: $f\left ( e^{-\frac{m}{n}} \right )=e^{-m}\cdot \left (-\frac{m}{n} \right )^m= -\left (\frac{m}{n} \right )^m<0.$
Στην περίπτωση αυτή έχουμε $f(A)=\left [ -\left ( \frac{m}{ne} \right )^m,+\infty \right )$ .

2) Θεωρώ την g(x)=x^nlnx

με $g'(x)=x^{n-1}(nlnx+1)$ , από όπου με πινακάκι κατά τα γνωστά προκύπτει:
g'(x)<0

$\forall x\in \left (0, e^{-\frac{1}{n}} \right )$ . Άρα

γνησίως φθίνουσα στο $\left (0, e^{-\frac{1}{n}} \right ].$
Επίσης g'(x)>0

$\forall x\in \left ( e^{-\frac{1}{n}} , +\infty \right )$ . Άρα

γνησίως αύξουσα στο $\left [ e^{-\frac{1}{n}} , +\infty \right ).$
Επιπλέον η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το: $g\left ( e^{-\frac{1}{n}} \right )=-\frac{1}{en} .$
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
i) Για n=1

, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την $x=e^{-\frac{1}{n}}$ .
ii) Για n=1

, η εξίσωση έχει 2 λύσεις , μία στο $\left ( 0,e^{-\frac{1}{n}} \right )$ και την άλλη στο $\left ( e^{-\frac{1}{n}} , +\infty \right )$ ,
αφού $-\frac{1}{en^2}>-\frac{1}{en}.$

3)Είναι $\displaystyle{I(n,m)=\int_{1}^{e}f(x)dx=\int_{1}^{e} \left (\frac{x^{n+1}}{n+1}\right )'(lnx)^{m} dx = \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{m}{n+1}\int_{1}^{e} x^{n}(lnx)^{m-1} dx=$
$=\dfrac{e^{n+1}}{n+1}-\dfrac{m}{n+1} I(n,m-1)}.$
Αντικαθιστώντας υπολογίζουμε και το I(3,2)

.

4)Τώρα για το πρώτο όριο έχουμε:
$\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{x^4\left ( lnx \right )^{2017}}{sin^3x}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x\left ( lnx \right )^{2017}}{\left ( \dfrac{sinx}{x} \right )^3} = 0,$
αφού $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\left ( lnx \right )^{2017}= 0$ όπως απεδείχθη προηγουμένως και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{sinx}{x}= 1.$

Επίσης ισχύουν:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left (\frac{\pi }{2} \right )^{-}}(tanx)=+\infty , \lim_{x\rightarrow \left (\frac{\pi }{2} \right )^{-}}x^{2018}=\left (\frac{\pi }{2} \right )^{2018}, \lim_{x\rightarrow \left (\frac{\pi }{2} \right )^{-}}\left (lnx \right )^{2017} =ln\left (\frac{\pi }{2} \right )^{2017}$ .

Άρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left (\frac{\pi }{2} \right )^{-}}\dfrac{x^{2018}\left ( lnx \right )^{2017}}{tanx}=0$ .
Ομοίως προκύπτει ότι και το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left (\frac{\pi }{2} \right )^{+}}\dfrac{x^{2018}\left ( lnx \right )^{2017}}{tanx}=0$ .
Άρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \left (\frac{\pi }{2} \right )}\dfrac{x^{2018}\left ( lnx \right )^{2017}}{tanx}=0$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Good

Good

Re: Good

Μέλη σε σύνδεση