Μελετημένο
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Μελετημένο
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με και :
, για κάθε .
Δ1) Να αποδειχθεί ότι .
Δ2) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα, τα κοίλα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
Δ3) Να αποδειχθεί ότι: για κάθε με
Δ4) Να υπολογιστεί το όριο
Δ5) Να αποδειχθεί ότι για κάθε
Edit : Διορθώθηκε το Δ5 ( βλέπε επόμενη δημοσίευση )
Υ.Γ. Η πηγή : Μπάμπης Στεργίου , ασκήσεις για τον επιμελή μαθητή 1 , Μάρτιος 2015
, για κάθε .
Δ1) Να αποδειχθεί ότι .
Δ2) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα, τα κοίλα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
Δ3) Να αποδειχθεί ότι: για κάθε με
Δ4) Να υπολογιστεί το όριο
Δ5) Να αποδειχθεί ότι για κάθε
Edit : Διορθώθηκε το Δ5 ( βλέπε επόμενη δημοσίευση )
Υ.Γ. Η πηγή : Μπάμπης Στεργίου , ασκήσεις για τον επιμελή μαθητή 1 , Μάρτιος 2015
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Παρ Μαρ 10, 2017 8:22 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Μελετημένο
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στην ωραία άσκηση του Γιώργη...exdx έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με και :
, για κάθε .
Δ1) Να αποδειχθεί ότι .
Δ2) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα, τα κοίλα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
Δ3) Να αποδειχθεί ότι: για κάθε με
Δ4) Να υπολογιστεί το όριο
Δ5) Να αποδειχθεί ότι για κάθε
Edit : Διορθώθηκε το Δ5 ( βλέπε επόμενη δημοσίευση )
Υ.Γ. Η πηγή μετά...
Δ1)
(Η είναι 1-1.)
Άρα από Πόρισμα Συνεπειών Θ.Μ.Τ. υπάρχει σταθερά (1)
Τώρα θεωρούμε . Οπότε (2),
επειδή συνεχής ως παραγωγίσιμη στο
Άρα .
Επίσης (3)
Από την (1) έχουμε :
και με αντικατάσταση των (2) και (3) , οπότε
Άρα συνεπώς .
Δ2) Είναι . Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
και παρουσιάζει στο , ολικό ελάχιστο το
Επίσης .
Άρα η είναι κυρτή στο .
Ακόμα , άρα το σύνολο τιμών της είναι το .
Δ3) Θεωρώ . Είναι παραγωγίσιμη με όπου με
Είναι . Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Άρα για είναι οπότε και άρα και είναι γνησίως αύξουσα.
Συνεπώς .
Δ4) Εφαρμόζοντας κανόνα de L' Ηospital έχουμε:
Θα προσπαθήσω αργότερα το Δ5 ... Μας καλεί το καθήκον!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 173
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm
Re: Μελετημένο
Μία προσέγγιση για το Δ.5 ( Εξαιρετικό ερώτημα )
Λόγω κυρτότητας της στο έχουμε ότι
H ποσότητα στο δεξί μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι η ευθεία που ενώνει τα σημεία και
Συνεπώς
Λόγω κυρτότητας της στο έχουμε ότι
H ποσότητα στο δεξί μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι η ευθεία που ενώνει τα σημεία και
Συνεπώς
Αντώνης Λουτράρης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μελετημένο
Θεωρούμε δεδομένο ότι η γραφική παράσταση κυρτής είναι κάτω απ΄τη χορδή ;Antonis Loutraris έγραψε:Μία προσέγγιση για το Δ.5 ( Εξαιρετικό ερώτημα )
Λόγω κυρτότητας της στο έχουμε ότι
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 173
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm
Re: Μελετημένο
Γιώργη προσωπικά αν ένας μαθητής μου έκανε ένα πρόχειρο γράφημα της στο και την χορδή θα
μου έφτανε, με δεδομένο ότι είχε απαντήσει αξιοπρεπώς στα προηγούμενα ερωτήματα του συγκεκριμένου θέματος.
μου έφτανε, με δεδομένο ότι είχε απαντήσει αξιοπρεπώς στα προηγούμενα ερωτήματα του συγκεκριμένου θέματος.
Αντώνης Λουτράρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες