Με απλά υλικά

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μαρ 24, 2017 1:56 pm

Δίνεται η \displaystyle{f:R\to R} με \displaystyle{f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}}και έστω \displaystyle{F} μια αρχική της με \displaystyle{F(0)=0}.
α) Να μελετήσετε την \displaystyle{F} ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε \displaystyle{x<0} ισχύει : \displaystyle{x<F(x)<xf(x)}
γ) Να δείξετε ότι \displaystyle{F(\varepsilon \varphi x)=x,\,\,\,\,x\in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{F}, την εφαπτομένη της στο \displaystyle{(0,0)} και την ευθεία \displaystyle{x=1}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μαρ 24, 2017 8:16 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η \displaystyle{f:R\to R} με \displaystyle{f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}}και έστω \displaystyle{F} μια αρχική της με \displaystyle{F(0)=0}.
α) Να μελετήσετε την \displaystyle{F} ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε \displaystyle{x<0} ισχύει : \displaystyle{x<F(x)<xf(x)}
γ) Να δείξετε ότι \displaystyle{F(\varepsilon \varphi x)=x,\,\,\,\,x\in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{F}, την εφαπτομένη της στο \displaystyle{(0,0)} και την ευθεία \displaystyle{x=1}
Γεια σου Γιώργη,

(α) Η F ως αρχική της συνεχούς f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με παράγωγο την f. Επειδή ( τετριμμένα ) είναι f(x)>0 συνάγουμε ότι η F είναι γνήσια αύξουσα. Παραγωγίζοντας ξανά έχουμε ότι \displaystyle f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}. Άρα στο 0 η F παρουσιάζει σημείο καμπής. Επίσης, αφού f'(x) \leq 0 για κάθε x\geq 0 συνάγουμε ότι η F είναι κοίλη στο [0, +\infty) και κυρτή στο (-\infty, 0].

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=F(x)-x η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με παράγωγο \displaystyle g'(x)=-\frac{x^2}{1+x^2}  \leq 0. Συνεπώς η g είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης g(0)=0. Άρα για x <0 είναι g(x)>0 συνεπώς F(x)>x. Όμοια και η άλλη ανισότητα.

Τελικά για κάθε x<0 είναι x<F(x)< x f(x).

(γ) Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση h(x)=F(\tan x) - x είναι σταθερή στο δοθέν διάστημα. Πράγματι παραγωγίζοντας έχουμε
\displaystyle{\begin{aligned} 
h'(x) &= \frac{1}{1+\tan^2 x} \frac{1}{\cos^2 x} - 1  \\  
 &= \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - 1\\  
 &=1 - 1 \\  
 &= 0  
\end{aligned}} και επειδή h(0)=0 έχουμε τελικά το ζητούμενο.

(δ) Η εφαπτομένη της \mathcal{C}_F στο σημείο (0, 0) έχει εξίσωση y = x. Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο
\displaystyle{\displaystyle{\rm E}(\Omega) = \int_0^1 \left| F(x) - x \right| \, {\rm d}x} Όμως F(x)<x για κάθε x \geq 0 διότι η F είναι κοίλη στο [0, \frac{\pi}{2}) άρα το γράφημά της είναι πάνω από αυτό της εφαπτομένης. Κατά συνέπεια:
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm E}\left ( \Omega  \right ) &=\int_{0}^{1} \left | F(x) - x \right | \, {\rm d}x \\  
 &= \int_{0}^{1} \left ( x  - F(x) \right ) \, {\rm d}x \\  
 &= \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} F(x) \, {\rm d}x\\  
 &= \frac{1}{2} - \left [ x F(x) \right ]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} \, {\rm d}x\\  
 &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1} \, {\rm d}x \\ 
 &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \left [\ln  \left ( x^2+1 \right ) \right ]_0^1 \\ 
 &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2}  
\end{aligned}} διότι το προηγούμενο ερώτημα για x=\frac{\pi}{4} δίδει F(1)=\frac{\pi}{4}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης