Με απλά υλικά
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Με απλά υλικά
Δίνεται η με και έστω μια αρχική της με .
α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει :
γ) Να δείξετε ότι
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , την εφαπτομένη της στο και την ευθεία
α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει :
γ) Να δείξετε ότι
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , την εφαπτομένη της στο και την ευθεία
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Με απλά υλικά
Γεια σου Γιώργη,exdx έγραψε:Δίνεται η με και έστω μια αρχική της με .
α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει :
γ) Να δείξετε ότι
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , την εφαπτομένη της στο και την ευθεία
(α) Η ως αρχική της συνεχούς είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο την . Επειδή ( τετριμμένα ) είναι συνάγουμε ότι η είναι γνήσια αύξουσα. Παραγωγίζοντας ξανά έχουμε ότι . Άρα στο η παρουσιάζει σημείο καμπής. Επίσης, αφού για κάθε συνάγουμε ότι η είναι κοίλη στο και κυρτή στο .
(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο . Συνεπώς η είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης . Άρα για είναι συνεπώς . Όμοια και η άλλη ανισότητα.
Τελικά για κάθε είναι .
(γ) Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση είναι σταθερή στο δοθέν διάστημα. Πράγματι παραγωγίζοντας έχουμε
και επειδή έχουμε τελικά το ζητούμενο.
(δ) Η εφαπτομένη της στο σημείο έχει εξίσωση . Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο
Όμως για κάθε διότι η είναι κοίλη στο άρα το γράφημά της είναι πάνω από αυτό της εφαπτομένης. Κατά συνέπεια:
διότι το προηγούμενο ερώτημα για δίδει .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες