Βασική(*fixed)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Βασική(*fixed)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Μαρ 27, 2017 1:01 pm

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}}=lnx, x>0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Τρί Μαρ 28, 2017 12:27 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1950
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βασική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 27, 2017 1:32 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=lnx έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
Στο (1,2) δεν είναι ορισμένη η συνάρτηση.Πως θα δείξουμε ότι έχει ρίζα.


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1467
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Βασική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Μαρ 27, 2017 11:41 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=lnx έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
...για τα δύο πρώτα ερωτήματα....

1) Είναι \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to {{0}^{-}} \\  
 u\to -\infty   
\end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{u}^{2}}{{e}^{u}})=\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}^{2}}}{{{e}^{-u}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2u}{-{{e}^{-u}}}=\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,-2\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{-u}}}=0=f(0)

άρα η f είναι συνεχής στο 0 και επειδή είναι συνεχής στο (0,\,\,+\infty ) ως πράξεις συνεχών είναι συνεχής στο [0,\,\,+\infty )

2) Αν Fείναι μία αρχική της f στο [0,\,\,+\infty ) θα έχει την μορφή

F(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x<0 \\  
 & \,\,\,\,F(0),\,\,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right. αυτή θα είναι συνεχής άρα

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,F(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(-{{e}^{\frac{1}{x}}}+c)=c=F(0)

και παραγωγίσιμη και στο x=0και πρέπει {F}'(0)=f(0)=0

Είναι τώρα \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{e}^{\frac{1}{x}}}+c-c 
}{x}=-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}}{x}=...=0={F}'(0)

άρα ισχύει και έτσι F(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x<0 \\  
 & \,\,c,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right. και \int\limits_{-1}^{0}{f}(x)dx=F(0)-F(-1)=c+e-c=e

3) Για το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} επειδή

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x)) \right]=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{-\frac{1}{x}}}+c \right)\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to -\infty  \\  
 u\to 0  
\end{smallmatrix}}{\overset{u=-\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{u}}+c \right)=1+c και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x-1) \right]\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to -\infty  \\  
 u\to -\infty   
\end{smallmatrix}}{\overset{u=x-1}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,F(u)=1+c το \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x)-F(x-1) \right]=0

4)...όπως είπε και ο Σταυρος υπάρχει πρόβλημα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1950
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Βασική(*fixed)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 28, 2017 11:08 am

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\  
\\ 
0,x=0\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}

3) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]} , όπου F μια αρχική της f

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}}=lnx, x>0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)
Κάνω το 4) για να κλείσει

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη στο (1,2)

με την g(x)=e^{\frac{1}{x}}-x^{2}lnx=0

g(1)=e> 0,g(2)=e^{\frac{1}{2}}-4ln2< 0

Επίσης g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}-2xlnx-x

Από Bolzano μαζί με την μονοτονία έχει μοναδική ρίζα

e^{\frac{1}{2}}< \sqrt{3}< 1,8=4.0,45< 4ln2


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες