Βασική(*fixed)

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\ \\ 0,x=0\\ \end{matrix}\right.}$

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}$

3) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]}$ , όπου

μια αρχική της

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}}=lnx, x>0$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\ \\ 0,x=0\\ \end{matrix}\right.}$

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}$

3) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]}$ , όπου μια αρχική της

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα

Στο

δεν είναι ορισμένη η συνάρτηση.Πως θα δείξουμε ότι έχει ρίζα.

#3

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\ \\ 0,x=0\\ \end{matrix}\right.}$

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}$

3) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]}$ , όπου μια αρχική της

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα

...για τα δύο πρώτα ερωτήματα....

1) Είναι $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)\underset{\begin{smallmatrix} x\to {{0}^{-}} \\ u\to -\infty \end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{u}^{2}}{{e}^{u}})=\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}^{2}}}{{{e}^{-u}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2u}{-{{e}^{-u}}}=\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,-2\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{-u}}}=0=f(0)$

άρα η

είναι συνεχής στο

και επειδή είναι συνεχής στο $(0,\,\,+\infty )$ ως πράξεις συνεχών είναι συνεχής στο $[0,\,\,+\infty )$

2) Αν

είναι μία αρχική της

στο $[0,\,\,+\infty )$ θα έχει την μορφή

$F(x)=\left\{ \begin{matrix} & -{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x<0 \\ & \,\,\,\,F(0),\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$ αυτή θα είναι συνεχής άρα

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,F(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(-{{e}^{\frac{1}{x}}}+c)=c=F(0)$

και παραγωγίσιμη και στο x=0

και πρέπει {F}'(0)=f(0)=0

Είναι τώρα $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x)-F(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{e}^{\frac{1}{x}}}+c-c }{x}=-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}}{x}=...=0={F}'(0)$

άρα ισχύει και έτσι $F(x)=\left\{ \begin{matrix} & -{{e}^{\frac{1}{x}}}+c,\,\,\,x<0 \\ & \,\,c,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$ και $\int\limits_{-1}^{0}{f}(x)dx=F(0)-F(-1)=c+e-c=e$

3) Για το $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]}$ επειδή

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x)) \right]=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{-\frac{1}{x}}}+c \right)\underset{\begin{smallmatrix} x\to -\infty \\ u\to 0 \end{smallmatrix}}{\overset{u=-\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{u}}+c \right)=1+c$ και

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x-1) \right]\underset{\begin{smallmatrix} x\to -\infty \\ u\to -\infty \end{smallmatrix}}{\overset{u=x-1}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,F(u)=1+c$ το $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ F(x)-F(x-1) \right]=0$

4)...όπως είπε και ο Σταυρος υπάρχει πρόβλημα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}},x<0\\ \\ 0,x=0\\ \end{matrix}\right.}$

1) Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής

2) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{-1}^{0}f(x)dx}$

3) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\left [ F(x)-F(x-1) \right ]}$ , όπου μια αρχική της

4) Να δειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\displaystyle{e{^\displaystyle{\frac{1}{x}}}}}{x^2}}=lnx, x>0$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα

Κάνω το 4) για να κλείσει

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη στο (1,2)

με την $g(x)=e^{\frac{1}{x}}-x^{2}lnx=0$

$g(1)=e> 0,g(2)=e^{\frac{1}{2}}-4ln2< 0$

Επίσης $g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}-2xlnx-x$

Από Bolzano μαζί με την μονοτονία έχει μοναδική ρίζα

$e^{\frac{1}{2}}< \sqrt{3}< 1,8=4.0,45< 4ln2$

Βασική(*fixed)

Βασική(*fixed)

Re: Βασική

Re: Βασική

Re: Βασική(*fixed)

Μέλη σε σύνδεση