Με απλά υλικά (2)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:26 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} για την οποία ισχύει : \displaystyle{{{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}} , για κάθε \displaystyle{x\in R} .
Β1. Να δείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)}
Β2. Να μελετήσετε την \displaystyle{f} ως προς τη μονοτονία , την κυρτότητα , τις ασύμπτωτες και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Β3. Να δείξετε ότι \displaystyle{|f({\rm{\alpha ) - f(\beta )| < |\alpha  - \beta |}}} για κάθε ,\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\text{, }\!\!\beta\!\!\text{ }\in R}με \displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ne \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}.
Β4. Να υπολογίσετε το \displaystyle{{{\Iota }_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{f(x)-x}}dx}} και το \displaystyle{{{I}_{2}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1446
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με απλά υλικά (2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Μαρ 31, 2017 1:13 am

exdx έγραψε:Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R} για την οποία ισχύει : \displaystyle{{{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}} , για κάθε \displaystyle{x\in R} .
Β1. Να δείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)}
Β2. Να μελετήσετε την \displaystyle{f} ως προς τη μονοτονία , την κυρτότητα , τις ασύμπτωτες και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Β3. Να δείξετε ότι \displaystyle{|f({\rm{\alpha ) - f(\beta )| < |\alpha  - \beta |}}} για κάθε ,\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\text{, }\!\!\beta\!\!\text{ }\in R}με \displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ne \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }}.
Β4. Να υπολογίσετε το \displaystyle{{{\Iota }_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{f(x)-x}}dx}} και το \displaystyle{{{I}_{2}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}}
...και μιά απλή αντιμετώπιση...

Β1. Είναι {{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x}}{{e}^{f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}={{e}^{f(x)}}({{e}^{x}}+1)\Leftrightarrow

{{e}^{x}}={{e}^{f(x)}}({{e}^{x}}+1)\Leftrightarrow {{e}^{f(x)}}=\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right),\,\,\,x\in R

Β2. Η f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και από

f(x)=\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)={{\{lne}}^{x}}-\ln ({{e}^{x}}+1)=x-\ln ({{e}^{x}}+1) παραγωγίζοντας έχουμε ότι

{f}'(x)=1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}>0,\,\,\,x\in R άρα η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι γνήσια αύξουσα στοR

Τώρα είναι {f}''(x)=-\frac{{{e}^{x}}}{({{e}^{x}}+1)}<0,\,\,\,x\in R επομένως είναι και κοίλη στο R.

Ακόμη επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}=1 το

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)=0

επομένως η ευθεία y=0 δηλαδή ο{x}'x είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty και επειδή

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}=0 το

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)=-\infty

άρα το σύνολο τιμών της είναι

f(R)=\left( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x) \right)=(-\infty ,\,\,0)

Επίσης επειδή η f είναι συνεχής στο R δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες και στο -\infty είναι

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{\ln ({{e}^{x}}+1)}{x} \right)=1 και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln ({{e}^{x}}+1)=0

επομένως η ευθεία y=x είναι ασύμπτωτη της της γραφικής παράστασης της f στο -\infty

Β3. Από |f(\alpha )\text{-f}(\beta )\text{ }\!\!|\!\!\text{ }<\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\alpha \text{-}\beta \text{ }\!\!|\!\!\text{ }\Leftrightarrow \left| \frac{f(\alpha )\text{-f}(\beta )}{\alpha \text{-}\beta } \right|<1\Leftrightarrow -1<\frac{f(\alpha )\text{-f}(\beta )}{\alpha \text{-}\beta }<1(1)

και σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει \xi στο διάστημα που ορίζουν τα

\displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\text{, }\!\!\beta\!\!\text{ }\in R}με \displaystyle{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\ne \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }} που {f}'(\xi )=\frac{f(\alpha )\text{-f}(\beta )}{\alpha \text{-}\beta } και από (1)\Leftrightarrow -1<{f}'(\xi )<1\Leftrightarrow -1<\frac{1}{{{e}^{\xi }}+1}<1 που ισχύει.

Β4. Είναι \displaystyle{{{\Iota }_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{f(x)-x}}dx}} και από {{e}^{x}}-{{e}^{f(x)}}={{e}^{x+f(x)}}\Leftrightarrow 1-{{e}^{f(x)-x}}={{e}^{f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{f(x)-x}}=1-{{e}^{f(x)}}=1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} άρα

{{\Iota }_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}=\left[ x-\ln ({{e}^{x}}+1) \right]_{0}^{1}=1-\ln (e+1)+ln2

και το {{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\ln \left( \frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f(x)dx}=\left[ {{e}^{x}}f(x) \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{f}'(x)dx}=

\left[ ef(1)-f(0) \right]-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}dx}=ef(1)-f(0)-\left[ \ln ({{e}^{x}}+1) \right]_{0}^{1}=....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1764
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με απλά υλικά (2)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μαρ 31, 2017 1:42 am

Β3 χωρίς παραγώγους
f(x)=ln\frac{e^{x}}{1+e^{x}}=lne^{x}-ln(1+e^{x})=x-ln(1+e^{x})

Η f όπως έδειξε ο Βασίλης είναι γνησίως αύξουσα.

Αρα για a> b είναι \left | f(a)-f(b) \right |=f(a)-f(b)=a-b-(ln(1+e^{a})-ln(1+e^{b}))< a-b=\left | a-b \right |

αφού (ln(1+e^{a})-ln(1+e^{b}))>0

Αυτή η συνάρτηση αποτελεί παράδειγμα συνάρτησης f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει \left | f(x)-f(y) \right |< \left | x-y \right |,x\neq y
και δεν έχει σταθερό σημείο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: stam_pap και 1 επισκέπτης