Just(*fixed)

erxmer · #1

Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύει οτι $\displaystyle{e^{f(x)}+f(x)=x+1,f(0)=0, x \in R}$

1) Nα δείξετε οτι είναι γνήσια αύξουσα

2) Να δείξετε οτι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη

3) $\displaystyle{\frac{x}{2}>f(x)>xf'(x),x<0}$

4) Aν

είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ C_f,x=0,x=-1,xx'

τότε ποιο το πρόσημο της παράστασης f(-1)+2E

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύει οτι $\displaystyle{e^{f(x)}+f(x)=x+1,f(0)=0, x \in R}$

1) Nα δείξετε οτι είναι γνήσια αύξουσα

2) Να δείξετε οτι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη

3) $\displaystyle{\frac{x}{2}<f(x)<xf'(x),x<0}$

4) Aν είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ τότε

Στο 3) η δεξιά ανισότητα είναι f(x)> xf'(x), x< 0

και ισχύει γενικότερα για $x\neq 0$

ενώ η αριστερή είναι ανάποδα.

Με επιφύλαξη το 4) είναι 2E+f(-1)< 0

Σταμ. Γλάρος · #3

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύει οτι $\displaystyle{e^{f(x)}+f(x)=x+1,f(0)=0, x \in R}$

1) Nα δείξετε οτι είναι γνήσια αύξουσα

2) Να δείξετε οτι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη

3) $\displaystyle{\frac{x}{2}>f(x)>xf'(x),x<0}$

4) Aν είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ τότε ποιο το πρόσημο της παράστασης

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
1) Τα δύο μέλη της δοθείσας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Συνεπώς, παραγωγίζοντας, έχουμε:
$e^{f(x)}f'(x)+f'(x)=1 \Leftrightarrow f'(x)= \dfrac{1}{1+e^{f(x)}}>0$ .
Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

2) Η

είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Επομένως $f''(x)=-\dfrac{e^{f(x)}f'(x)}{\left ( 1+e^{f(x)} \right )^{2}}<0$ .
Άρα η

είναι κοίλη.

3) Θεωρώ συνάρτηση $g(x) = f(x) -\dfrac{x}{2}$ , παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με
$g'(x)=f'(x)-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1-e^{f(x)}}{2\left ( 1+e^{f(x)} \right )} >0$ , αφού για x<0

είναι

επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα $e^{f(x)} <e^0 =1$ , οπότε $1- e^ {f(x)} >0$ .
Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 0]$ ,
οπότε για x<0

είναι

, δηλαδή $f(x)<\dfrac{x}{2}$ .

Επίσης θεωρώ συνάρτηση h(x) = xf'(x) -f(x)

, παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με
h'(x)=xf''(x) >0

, $\forall x\in (-\infty ,0)$
αφού για x<0

είναι

.
Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 0]$ ,
οπότε για x<0

είναι

, δηλαδή

.

4) Η

είναι κοίλη. Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο αυτής (0,0)

είναι $y= \dfrac{1}{2} x$ . Συνεπώς ισχύει $f(x)\leq \dfrac{1}{2} x$ , $\forall x \in [-1,0]$ .
Το τελευταίο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η $C_{f}$ βρίσκεται κάτω από τον xx'

στο

, εκτός από το

.
Άρα έχουμε $E= \displaystyle -\int_{-1}^{0}f(x)dx$ .

Τώρα από την τελευταία ανισότητα f(x) > x f'(x)

προκύπτει :

$\displaystyle \int_{-1}^{0}f(x)dx > \displaystyle \int_{-1}^{0}xf'(x)dx = 0\cdot f(0)-(-f(-1)) -\int_{-1}^{0}f(x)dx$

Άρα έχουμε $2\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx> f(-1)$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle-2\int_{-1}^{0}f(x)dx<- f(-1)$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ f(-1) +2E < 0 .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Just(*fixed)

Just(*fixed)

Re: Just

Re: Just(*fixed)

Μέλη σε σύνδεση