Just(*fixed)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Just(*fixed)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Απρ 03, 2017 2:20 pm

Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση f:R \to R για την οποία ισχύει οτι \displaystyle{e^{f(x)}+f(x)=x+1,f(0)=0, x \in R}

1) Nα δείξετε οτι είναι γνήσια αύξουσα

2) Να δείξετε οτι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη

3) \displaystyle{\frac{x}{2}>f(x)>xf'(x),x<0}

4) Aν E είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ C_f,x=0,x=-1,xx' τότε ποιο το πρόσημο της παράστασηςf(-1)+2E
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Δευ Απρ 03, 2017 10:07 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1848
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Just

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 03, 2017 5:15 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση f:R \to R για την οποία ισχύει οτι \displaystyle{e^{f(x)}+f(x)=x+1,f(0)=0, x \in R}

1) Nα δείξετε οτι είναι γνήσια αύξουσα

2) Να δείξετε οτι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη

3) \displaystyle{\frac{x}{2}<f(x)<xf'(x),x<0}

4) Aν E είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ C_f,x=0,x=-1 τότε f(-1)+2E>0
Στο 3) η δεξιά ανισότητα είναι f(x)> xf'(x), x< 0

και ισχύει γενικότερα για x\neq 0

ενώ η αριστερή είναι ανάποδα.

Με επιφύλαξη το 4) είναι 2E+f(-1)< 0


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Just(*fixed)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Απρ 04, 2017 5:16 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσμη συνάρτηση f:R \to R για την οποία ισχύει οτι \displaystyle{e^{f(x)}+f(x)=x+1,f(0)=0, x \in R}

1) Nα δείξετε οτι είναι γνήσια αύξουσα

2) Να δείξετε οτι είναι δυο φορες παραγωγίσμη και κοίλη

3) \displaystyle{\frac{x}{2}>f(x)>xf'(x),x<0}

4) Aν E είναι το εμβαδό του χωρίου μεταξύ C_f,x=0,x=-1,xx' τότε ποιο το πρόσημο της παράστασηςf(-1)+2E
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
1) Τα δύο μέλη της δοθείσας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Συνεπώς, παραγωγίζοντας, έχουμε:
e^{f(x)}f'(x)+f'(x)=1 \Leftrightarrow f'(x)= \dfrac{1}{1+e^{f(x)}}>0 .
Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

2) Η f' είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Επομένως f''(x)=-\dfrac{e^{f(x)}f'(x)}{\left ( 1+e^{f(x)} \right )^{2}}<0 .
Άρα η f είναι κοίλη.

3) Θεωρώ συνάρτηση g(x) = f(x) -\dfrac{x}{2}, παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με
g'(x)=f'(x)-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1-e^{f(x)}}{2\left ( 1+e^{f(x)} \right )}  >0 , αφού για x<0 είναι
f(x)<f(0)=0 επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα e^{f(x)} <e^0   =1 , οπότε 1- e^ {f(x)} >0 .
Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty, 0] ,
οπότε για x<0 είναι g(x)<g(0)=0 , δηλαδή f(x)<\dfrac{x}{2} .

Επίσης θεωρώ συνάρτηση h(x) = xf'(x) -f(x), παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με
h'(x)=xf''(x) >0 , \forall x\in (-\infty ,0)
αφού για x<0 είναι f''(x)<0 .
Συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty, 0] ,
οπότε για x<0 είναι h(x)<h(0)=0 , δηλαδή f(x) > x f'(x) .



4) Η f είναι κοίλη. Επίσης η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο αυτής (0,0)
είναι y= \dfrac{1}{2} x. Συνεπώς ισχύει f(x)\leq \dfrac{1}{2} x , \forall x \in [-1,0].
Το τελευταίο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η C_{f} βρίσκεται κάτω από τον xx' στο [-1,0], εκτός από το 0 .
Άρα έχουμε E= \displaystyle -\int_{-1}^{0}f(x)dx.

Τώρα από την τελευταία ανισότητα f(x) > x f'(x) προκύπτει :

\displaystyle \int_{-1}^{0}f(x)dx > \displaystyle \int_{-1}^{0}xf'(x)dx = 0\cdot f(0)-(-f(-1)) -\int_{-1}^{0}f(x)dx

Άρα έχουμε 2\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx> f(-1) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \displaystyle-2\int_{-1}^{0}f(x)dx<- f(-1) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow f(-1) +2E <  0 .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης